Matematicamente

In un triangolo rettangolo la somma delle tangenti degli angoli acuti vale $25/12$.

Sapendo che l'ipotenusa è lunga 15, determinare la lunghezza dei cateti. 

Siano $a$ e $b$ i cateti, $c$ l'ipotenusa, $h$ l'altezza relativa all'ipotenusa.
Per i teoremi sui triangoli rettangoli, sappiamo che catetti e tangente dell'angolo sono legati in questo modo
$a=btanalpha$
$b=atanbeta$
Perciò risulta essere
$tanalpha=a/b$
$tanbeta=b/a$

Nel nostro problema abbiamo
$tanalpha+tanbeta=25/12$
ovvero
$a/b+b/a=25/12$ che possiamo anche scrivere
$(a^2+b^2)/(ab)=25/12$ (1)

Essendo però il nostro un triangolo rettangolo, sussiste il teorema ti pitagora che ci dicre
$a^2+b^2=15^2$ (2)

Mettiamo a sistema la (1) e la (2) ottenendo
${((a^2+b^2)/(ab)=25/12),(a^2+b^2=225):}$
Questo è un sistema simmetrico a due incognite.
Se non si ricorda come trattare questo tipo di sistema, nella sezione "Sistemi" c'è un esempio con lo svolgimento.
Sostituendo il valore di $a^2+b^2$ nella prima equazione, si avrà
${(225/(ab)=25/12),(a^2+b^2=225):}$
ovvero
${(225/(ab)=25/12),(a^2+b^2=225):}$
trovando il valore di $ab$ e ricordando l'identità $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ si ha
${(ab=108),((a+b)^2-2ab=225):}$
sapendo che $ab=108$ la seconda equazione diventa
${(ab=108),((a+b)^2=225+216=441=21^2):}$
Perciò si ottiene
${(ab=108),(a+b=+-21):}$
Ma dobbiamo escludere il caso in cui la somma è $-21$ perchè sia $a$ che $b$ sono positivi, in quanto misure di segmenti.
Ora impostiamo l'equazione che ci fornisce le due soluzioni
$x^2-sx+p=0$ dove $s$ è la somma delle due radici e $p$ il prodotto.
$x^2-21x+108=0$
Le soluzioni sono
$x_1=a=12$
$x_2=b=9$

valori che corrispondoni alla lunghezza dei due lati cercati.

FINE

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