Funzione generatrice v.a Bernoulli

[beppe86]

Ciao ragazzi mi servirebbe la definizione della funzione generatrice per una v.a di bernoulli e sapere anche come si calcolano valore atteso e varianza partendo proprio dalla funzione generatrice.

Grazie in anticipo.

[luca.barletta]

Sia $X~Bern(p)$, allora la sua fgm:
$m_X(t)=E[e^(xt)]=e^(0*t)(1-p)+e^(1*t)p=1-p+pe^t=1-p(1-e^t)$

Media:
$(d/dtm_X(t))_(t=0)=E[X]$

[beppe86]

Grazie mille per la risposta.
Per la varianza invece non ci sono collegamenti con la generatrice? Devo cmq e solo calcolarla con $E[X^2]-E[X]^2$?
E cmq, correggimi se sbaglio, si può dire che per una v.a bernoulliana la media è sempre $p$ (dove per $p$ si intende la probabilità di successo) e la varianza è sempre $p-p^2$?

Grazie

[luca.barletta]

Per la varianza $Var[X]=E[X^2]-E[X]^2=((d^2)/(dt^2)m_X(t))_(t=0)-(d/(dt)m_X(t))_(t=0)^2$.

Per una bernoulliana media e varianza sono sempre quelle.

[beppe86]

Grazie per la risposta, l'ho letta solo oggi... volevo chiedere un ulteriore informazione però, cioè come è possibile calcolare valore medio e varianza quando non si ha la funzione generatrice (per lo meno questo è espressamente scritto nel registro lezioni del profe).

Io dire che si possono calcolare utilizzando la definizione di valore medio, cioè $sum x*p(x)$, o sbaglio?
Successivamente poi calcolorei la varianza usando la solita relazione con il valore atteso.

Il ragionamento fila o c'è qualcos'altro?

Grazie

[Cheguevilla]

Si, il ragionamento fila.
$E[X]=sum x*p(x)$
$sigma^2=E[X^2]-E[X]^2$$

[luca.barletta]

Sì, media e varianza puoi sempre calcolarle a partire dalla loro definizione, a patto che tu conosca la densità di probabilità.