Una disequazione di secondo grado si può sempre scrivere, senza perdita di generalità , in uno dei seguenti due modi
[math]a x^2 + bx + c \ge 0[/math] | [math]a x^2 + bx + c > 0[/math] |
con
[math]a, b, c \in \mathbb{R}[/math]
e [math]a \ne 0[/math]
, altrimenti il grado della disequazione sarebbe inferiore al secondo. Se una disequazione di secondo grado si presenta con il verso di disuguaglianza [math] o Caso
[math]\le[/math]
, per ricondursi ad una delle due forme precedenti è sufficiente moltiplicare ambo i membri per [math]-1[/math]
.
Caso [math]a x^2 + bx + c \ge 0[/math]
Sia
[math]\Delta = b^2 - 4 ac[/math]
il discriminante del polinomio [math]a x^2 + bx + c[/math]
, e siano [math]x_1[/math]
e [math]x_2[/math]
le soluzioni (eventualmente complesse) dell'equazione associata [math]a x^2 + bx + c = 0[/math]
. Per determinare la soluzione della disequazione [math]ax^2 + bx + c \ge 0[/math]
si distinguono i seguenti casi - se
[math]\Delta e
[math]a > 0[/math]
la disequazione è soddisfatta per ogni [math]x \in \mathbb{R}[/math]
- se
[math]\Delta e
[math]a non esiste
[math]x \in \mathbb{R}[/math]
per cui la disequazione sia soddisfatta - se
[math]\Delta = 0[/math]
e [math]a > 0[/math]
la disequazione è soddisfatta per ogni [math]x \in \mathbb{R}[/math]
- se
[math]\Delta = 0[/math]
e [math]a la disequazione è soddisfatta per il solo valore
[math]x = x_1[/math]
(notare che in questo caso risulta [math]x_1 = x_2[/math]
) - se
[math]\Delta > 0[/math]
e [math]a > 0[/math]
, supponendo senza perdita di generalità [math]x_1 , la disequazione è soddisfatta per
[math]x \le x_1 \quad \vee \quad x \ge x_2[/math]
- se
[math]\Delta > 0[/math]
e [math]a , supponendo senza perdita di generalità
[math]x_1 , la disequazione è soddisfatta per Caso
[math]x_1 \le x \le x_2[/math]
Esempio: risolvere
[math]x^2 - 3x + 2 \ge 0[/math]
. Risulta [math]\Delta > 0[/math]
, e le soluzioni dell'equazione associata sono [math]x_1 = 1[/math]
e [math]x_2 = 2[/math]
. Dato che [math]a = 1 > 0[/math]
la disequazione è soddisfatta per [math]x \le 1 \quad \vee x \ge 2[/math]
. Caso [math]a x^2 + bx + c > 0[/math]
Sia
[math]\Delta = b^2 - 4 ac[/math]
il discriminante del polinomio [math]a x^2 + bx + c[/math]
, e siano [math]x_1[/math]
e [math]x_2[/math]
le soluzioni (eventualmente complesse) dell'equazione associata [math]a x^2 + bx + c = 0[/math]
. Per determinare la soluzione della disequazione [math]ax^2 + bx + c > 0[/math]
si distinguono i seguenti casi - se
[math]\Delta e
[math]a > 0[/math]
la disequazione è soddisfatta per ogni [math]x \in \mathbb{R}[/math]
- se
[math]\Delta e
[math]a non esiste
[math]x \in \mathbb{R}[/math]
per cui la disequazione sia soddisfatta - se
[math]\Delta = 0[/math]
e [math]a > 0[/math]
la disequazione è soddisfatta per [math]x \ne x_1[/math]
(notare che in questo caso risulta [math]x_1 = x_2[/math]
) - se
[math]\Delta = 0[/math]
e [math]a non esiste
[math]x \in \mathbb{R}[/math]
per cui la disequazione sia soddisfatta - se
[math]\Delta > 0[/math]
e [math]a > 0[/math]
, supponendo senza perdita di generalità [math]x_1 , la disequazione è soddisfatta per
[math]x x_2[/math]
- se
[math]\Delta > 0[/math]
e [math]a , supponendo senza perdita di generalità
[math]x_1 , la disequazione è soddisfatta per
[math]x_1 Esempio: risolvere
[math]-x^2 + 5x - 6 > 0[/math]
. Risulta [math]\Delta > 0[/math]
, e le soluzioni dell'equazione associata sono [math]x_1 = 2[/math]
e [math]x_2 = 3[/math]
. Dato che [math]a = -1 la disequazione è soddisfatta per
[math]2 .
