_Tipper
di _Tipper
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Dati

[math]a \in \mathbb{R}^{+} setmi
us {1}[/math]
e
[math]b \in \mathbb{R}[/math]
, una disequazione esponenziale in forma elementare si può esprimere in uno dei quattro modi seguenti
[math]a^x \ge b[/math]
[math]a^x > b[/math]
[math]a^x \le b[/math]
[math]a^x

Caso
[math]a^x \ge b[/math]

Per la risoluzione di una disequazione in questa forma si distinguono i seguenti casi:

- se

[math]b \le 0[/math]
la disequazione è verificata per ogni
[math]x \in \mathbb{R}[/math]

- se

[math]b > 0[/math]
e
[math]0 la disequazione è verificata per
[math]x \le \\log_{a}(b)[/math]

- se

[math]b > 0[/math]
e
[math]a > 1[/math]
la disequazione è verificata per
[math]x \ge \\log_{a}(b)[/math]

Esempio: la disequazione

[math](\frac{1}{2})^x \ge 5[/math]
è verificata per
[math]x \le \\log_{\frac{1}{2}}(5)[/math]

Caso
[math]a^x > b[/math]

Per la risoluzione di una disequazione in questa forma si distinguono i seguenti casi:

- se

[math]b \le 0[/math]
la disequazione è verificata per ogni
[math]x \in \mathbb{R}[/math]

- se

[math]b > 0[/math]
e
[math]0 la disequazione è verificata per
[math]x

- se

[math]b > 0[/math]
e
[math]a > 1[/math]
la disequazione è verificata per
[math]x >\\log_{a}(b)[/math]

Esempio: la disequazione

[math]3^x > 9[/math]
è verificata per
[math]x > \\log_{3}(9)[/math]
, cioè per
[math]x > 2[/math]
, dal momento che
[math]\\log_{3}(9) = 2[/math]
.

Caso
[math]a^x \le b[/math]

Per la risoluzione di una disequazione in questa forma si distinguono i seguenti casi:

- se

[math]b \le 0[/math]
non esiste
[math]x \in \mathbb{R}[/math]
per cui la disequazione sia verificata

- se

[math]b > 0[/math]
e
[math]0 la disequazione è verificata per
[math]x \ge \\log_{a}(b)[/math]

- se

[math]b > 0[/math]
e
[math]a > 1[/math]
la disequazione è verificata per
[math]x \le \\log_{a}(b)[/math]

Esempio: la disequazione

[math](\frac{1}{3})^x \le 7[/math]
è verificata per
[math]x \ge \\log_{\frac{1}{3}}(7)[/math]

Caso
[math]a^x

Per la risoluzione di una disequazione in questa forma si distinguono i seguenti casi:

- se

[math]b \le 0[/math]
non esiste
[math]x \in \mathbb{R}[/math]
per cui la disequazione sa verificata

- se

[math]b > 0[/math]
e
[math]0 la disequazione è verificata per
[math]x > \\log_{a}(b)[/math]

- se

[math]b > 0[/math]
e
[math]a > 1[/math]
la disequazione è verificata per
[math]x

Esempio: la disequazione

[math]6^x è verificata per
[math]x

Riconduzione a disequazioni esponenziali in forma normale

Nei seguenti esempi vengono illustrati alcuni casi particolari di disequazioni esponenziali che possono essere riportati, mediante alcuni passaggi algebrici, alla forma elementare.

1) Risolvere

[math](\frac{1}{2})^{x+9} > 4[/math]
. Posto
[math]t = x+9[/math]
ci si riconduce ad una disequazione esponenziale in forma elementare, del tipo
[math](\frac{1}{2})^t > 4[/math]
. Pertanto la soluzione è

[math]t

2) Risolvere

[math](\frac{1}{3})^{2x} \ge 3[/math]
. Ponendo
[math]t = 2x[/math]
ci si riconduce ad una disequazione in forma elementare del tipo
[math](\frac{1}{3})^t \ge 3[/math]
, la cui soluzione è

[math]t \le \\log_{\frac{1}{3}}(3) \implies t \le 1 \implies 2x \le 1 \implies x \le \frac{1}{2}[/math]

3) Risolvere

[math]3^{2x} - 5 \cdot 3^x + 6 \ge 0[/math]
. Posto
[math]t = 3^x[/math]
, e osservando che
[math]t^2 = 3^{2x}[/math]
, la disequazione precedente diventa

[math]t^2 - 5t + 6 \ge 0[/math]

la cui soluzione è

[math]t \le 2 \quad \vee \quad t \ge 3[/math]
. Ricordando la sostituzione
[math]t = 3^x[/math]
, si deduce che la soluzione della disequazione esponenziale è
[math]3^x \le 2 \quad \vee \quad 3^x \ge 3[/math]
, ossia

[math]x \le \\log_{3}(2) \quad \vee \quad x \ge 1[/math]

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