[math] n [/math]
è dispari ma non esiste sempre se [math] n [/math]
è pari, poiché la radice [math]n[/math]
-esima di un numero, se [math]n[/math]
è pari, esiste solo per i numeri maggiori o uguali a 0.
Disequazioni irrazionali - definizione
Dato[math]n \in \mathbb{N}^{*}[/math]
(ossia l'insieme dei numeri interi positivi), una disequazione irrazionale è una disuguaglianza in cui l'incognita compare sotto il segno di radice, pertanto ogni disequazione irrazionale si può scrivere in una di queste quattro forme:
Caso 1
[math]\sqrt[n]{f(x)} \ge g(x)[/math]
Caso 2
[math]\sqrt[n]{f(x)} > g(x)[/math]
Caso 3
[math]\sqrt[n]{f(x)} \le g(x)[/math]
Caso 4
[math]\sqrt[n]{f(x)}
Esempio:
Risolvere la disequazione:
Disequazioni irrazionali - caso n dispari
Se[math]n[/math]
è dispari, infatti, per risolvere la disequazione è sufficiente elevare ambo i membri alla potenza [math]n[/math]
-esima, e risolvere la nuova disequazione così ottenuta. Esempio:
Risolvere la disequazione:
[math] \sqrt[5]{6x+5} \le 10 - x[/math]
è equivalente a risolvere la disequazione [math] 6x + 5 \le (10 - x)^5 [/math]
, e quella ottenuta non è più irrazionale, bensì polinomiale.
Disequazioni irrazionali - caso n pari
Nel seguito consideriamo i casi con[math]n[/math]
pari.
Consideriamo i casi seguenti:
[math] \sqrt[n]{f(x)} \ge g(x)[/math]
e il caso simile [math] \sqrt[n]{f(x)} > g(x)[/math]
Il procedimento risolutivo di una disequazione irrazionale del tipo
[math]
\sqrt[n]{f(x)} \ge g(x)[/math]
, consiste nella risoluzione dei seguenti sistemi:\sqrt[n]{f(x)} \ge g(x)[/math]
[math]\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x)
poiché ricordiamo che la radice di indice pari di un numero reale non negativo restituisce sempre un numero non negativo.
Esempio
Risolvere
[math]\sqrt{2x+3} \ge x+1[/math]
Si tratta di risolvere i sistemi:
[math] \begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ x+1
dove il
[math]x^2+2x+1[/math]
spunta dopo che si ha elevato al quadrato [math] g(x) = x + 1[/math]
secondo la classica regola del quadrato di un binomio.Per approfondimenti sul quadrato di un binomio, vedi anche qua.
Risolviamo il primo sistema: nel primo sistema la prima riga ha soluzione
[math]x \ge \frac{-3}{2}[/math]
mentre la seconda riga ha soluzione [math] x .
L'intervallo soluzione comune ad entrambe le disequazioni è
L'intervallo soluzione comune ad entrambe le disequazioni è
[math] [-\frac{3}{2}; -1[ [/math]
, quindi la soluzione del primo sistema è: [math]-\frac{3}{2} \le x .
Risolviamo ora il secondo sistema: la prima riga ha soluzione
[math] x \ge -1 [/math]
, mentre la seconda riga è una disequazione di secondo grado [math] x^2-2 \le 0 [/math]
, le cui soluzioni dell'equazione associata sono [math] \pm \sqrt{2}[/math]
, da ciò ricaviamo che la seconda riga ha soluzione [math] -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2} [/math]
. L'intervallo comune ad entrambe le righe è [math] [-1; \sqrt{2}] [/math]
quindi il secondo sistema è risolto per [math]-1 \le x \le \sqrt{2}[/math]
, pertanto la soluzione della disequazione irrazionale è quello che si ottiene unendo gli intervalli: [math]-\frac{3}{2} \le x \le \sqrt{2}[/math]
. Il procedimento risolutivo per disequazioni nella forma
[math]
\sqrt[n]{f(x)} > g(x)[/math]
è del tutto analogo al precedente, a parte il segno di disuguaglianza presente nella seconda equazione del secondo sistema: \sqrt[n]{f(x)} > g(x)[/math]
[math]\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) 0 \\ f(x) > g^n(x) \end{cases}[/math]
Consideriamo ora gli altri due casi rimanenti:
[math]\sqrt[n]{f(x)} \le g(x)[/math]
e [math]
\sqrt[n]{f(x)}
Utilizzando i semplici metodi di risoluzione delle disequazioni di primo grado, troviamo che la prima e la seconda riga corrispondono a
\sqrt[n]{f(x)}
La risoluzione di una disequazione irrazionale del tipo
[math]
\sqrt[n]{f(x)} \le g(x)[/math]
equivale alla risoluzione del seguente sistema:\sqrt[n]{f(x)} \le g(x)[/math]
[math]\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le g^n(x) \end{cases}[/math]
Esempio: Risolvere la disequazione
[math]\sqrt{3x+6} \le x-3[/math]
, è equivalente a risolvere questo sistema:[math]\begin{cases} 3x+6 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \\ 3x+6 \le x^2 - 6x + 9 \end{cases}[/math]
.Utilizzando i semplici metodi di risoluzione delle disequazioni di primo grado, troviamo che la prima e la seconda riga corrispondono a
[math]x \ge -2[/math]
e [math]x \ge 3[/math]
rispettivamente. La terza riga è una disequazione di secondo grado: [math] x^2-9x+3 \ge 0 [/math]
, la cui equazione associata ha soluzione [math]x=\frac{ 9 \pm \sqrt{69}}{2}[/math]
, di conseguenza la soluzione della disequazione sarà [math]x \le \frac{ 9 - \sqrt{69}}{2} \vee x \le \frac{ 9 + \sqrt{69}}{2}[/math]
. Il sistema può quindi essere riscritto così: [math] \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge 3 \\ x \le \frac{ 9 - \sqrt{69}}{2} \vee x \le \frac{ 9 + \sqrt{69}}{2} \end{cases} [/math]
Le prime due condizioni possono essere "fuse" in [math]x \ge 3[/math]
. Il sistema diventa quindi: [math] \begin{cases} x \ge 3 \\ x \le \frac{ 9 - \sqrt{69}}{2} \vee x \le \frac{ 9 + \sqrt{69}}{2} \end{cases} [/math]
Dal momento che [math]\frac{9+\sqrt{69}}{2} > 3 [/math]
si ha che quindi la disequazione irrazionale iniziale è soddisfatta per [math]x \ge \frac{9 + \sqrt{69}}{2}[/math]
. Il procedimento risolutivo per disequazioni del tipo
[math]
\sqrt[n]{f(x)} è analogo al precedente, con alcune piccole modifiche alle condizioni del sistema da studiare:
\sqrt[n]{f(x)} è analogo al precedente, con alcune piccole modifiche alle condizioni del sistema da studiare:
[math]\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x)
Per ulteriori approfondimenti sui sistemi di disequazioni vedi anche qua
