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Dati

[math]a \in \mathbb{R}^{+} setmi
us {1}[/math]
e
[math]b \in \mathbb{R}[/math]
, una disequazione logaritmica in forma elementare si può scrivere in uno dei seguenti quattro modi

[math]\\log_{a}(x) \ge b[/math]
[math]\\log_{a}(x) > b[/math]
[math]\\log_{a}(x) \le b[/math]
[math]\\log_{a}(x)

Si nota che in ogni caso, affinché il logaritmo esista, deve risultare

[math]x > 0[/math]
.

Caso
[math]\\log_{a}(x) \ge b[/math]

Per risolvere una disequazione logaritmica del tipo

[math]\\log_{a}(x) \ge b[/math]
si distinguono i seguenti casi:

- se

[math]0 la disequazione è soddisfatta per
[math]0

- se

[math]a > 1[/math]
la disequazione è soddisfatta per
[math]x \ge a^b[/math]

Esempio: la disequazione

[math]\\log_{\frac{1}{2}}(x) \ge 3[/math]
è soddisfatta per
[math]0

Caso
[math]\\log_{a}(x) > b[/math]

Per risolvere una disequazione logaritmica del tipo

[math]\\log_{a}(x) > b[/math]
si distinguono i seguenti casi:

- se

[math]0 la disequazione è soddisfatta per
[math]0

- se

[math]a > 1[/math]
la disequazione è soddisfatta per
[math]x > a^b[/math]

Esempio: la disequazione

[math]\\log_{3}(x) > 2[/math]
è soddisfatta per
[math]x >9[/math]
.

Caso
[math]\\log_{a}(x) \le b[/math]

Per risolvere una disequazione logaritmica del tipo

[math]\\log_{a}(x) \le b[/math]
si distinguono i seguenti casi:

- se

[math]0 la disequazione è soddisfatta per
[math]x \ge a^b[/math]

- se

[math]a > 1[/math]
la disequazione è soddisfatta per
[math]0

Esempio: la disequazione

[math]\\log_{\frac{1}{2}}(x) \le 3[/math]
è soddisfatta per
[math]x \ge \frac{1}{8}[/math]

Caso
[math]\\log_{a}(x)

Per risolvere una disequazione logaritmica del tipo

[math]\\log_{a}(x) si distinguono i seguenti casi:

- se

[math]0 la disequazione è soddisfatta per
[math]x > a^b[/math]

- se

[math]a > 1[/math]
la disequazione è soddisfatta per
[math]0

Esempio: la disequazione

[math]\\log_{2}(x) è soddisfatta per
[math]0

Disequazioni logaritmiche riconducibili alla forma elementare

Nei successivi esempi sono illustrati alcuni casi di disequazioni logaritmiche riconducibili alla forma elementare.

1) Risolvere

[math]\\log_{5}(x-7) > 2[/math]
. Posto
[math]x-7 = t[/math]
, la disequazione diventa
[math]\\log_{5}(t) > 2[/math]
, la cui soluzione è

[math]t > 5^3 \implies t > 25 \implies x - 7 > 25 \implies x > 32[/math]

2) Risolvere

[math]\\log_{\frac{1}{2}}(3x - 2) > 3[/math]
. Posto
[math]3x - 2 = t[/math]
, la disequazione diventa
[math]\\log_{\frac{1}{2}}(t) > 3[/math]
, la cui soluzione è

[math]0

3) Risolvere

[math]\\log_{\frac{1}{2}}(3^{2x} - 3^x + 1) > 0[/math]
. Posto
[math]z = 3^{2x} - 3^x + 1[/math]
, la disequazione diventa
[math]\\log_{\frac{1}{2}}(z) > 0[/math]
, la cui soluzione è
[math]0 , quindi la disequazione iniziale è soddisfatta se e solo se è verificata la seguente disequazione esponenziale

[math]0

Posto

[math]t = 3^x[/math]
, osservando che
[math]t > 0[/math]
per ogni
[math]x \in \mathbb{R}[/math]
, si nota che risolvere la precedente disequazione equivale a risolvere il sistema

[math]\egin{cases} t^2 - t + 1 > 0 \\ t^2 - t + 1 0 \ \end{cases} \implies {(t^2 - t + 1 > 0),(t^2 - t 0):}[/math]

La prima disequazione è soddisfatta per ogni

[math]t \in \mathbb{R}[/math]
, la seconda è soddisfatta per
[math]0 , quindi il sistema è risolto per
[math]0 , e ricordando la sostituzione
[math]3^x = t[/math]
si nota che

[math]0 egin{cases} 3^x > 0 \\ 3^x

La prima disequazione è soddisfatta per ogni

[math]x \in \mathbb{R}[/math]
, la seconda invece è soddisfatta per
[math]x , cioè
[math]x . Quindi la disequazione logaritmica iniziale è soddisfatta per
[math]x .