Dati
us {1}[/math]
[math]\\log_{a}(x) \ge b[/math] | [math]\\log_{a}(x) > b[/math] | [math]\\log_{a}(x) \le b[/math] | [math]\\log_{a}(x) |
Si nota che in ogni caso, affinché il logaritmo esista, deve risultare
Caso [math]\\log_{a}(x) \ge b[/math]
Per risolvere una disequazione logaritmica del tipo
- se
- se
Esempio: la disequazione
Caso [math]\\log_{a}(x) > b[/math]
Per risolvere una disequazione logaritmica del tipo
- se
- se
Esempio: la disequazione
Caso [math]\\log_{a}(x) \le b[/math]
Per risolvere una disequazione logaritmica del tipo
- se
- se
Esempio: la disequazione
Caso [math]\\log_{a}(x) Per risolvere una disequazione logaritmica del tipo
[math]\\log_{a}(x) si distinguono i seguenti casi: - se
[math]0 la disequazione è soddisfatta per [math]x > a^b[/math] - se
[math]a > 1[/math] la disequazione è soddisfatta per [math]0 Esempio: la disequazione
[math]\\log_{2}(x) è soddisfatta per [math]0
Disequazioni logaritmiche riconducibili alla forma elementare
Nei successivi esempi sono illustrati alcuni casi di disequazioni logaritmiche riconducibili alla forma elementare.
1) Risolvere
[math]\\log_{5}(x-7) > 2[/math]. Posto [math]x-7 = t[/math], la disequazione diventa [math]\\log_{5}(t) > 2[/math], la cui soluzione è
[math]t > 5^3 \implies t > 25 \implies x - 7 > 25 \implies x > 32[/math] 2) Risolvere
[math]\\log_{\frac{1}{2}}(3x - 2) > 3[/math]. Posto [math]3x - 2 = t[/math], la disequazione diventa [math]\\log_{\frac{1}{2}}(t) > 3[/math], la cui soluzione è
[math]0 3) Risolvere
[math]\\log_{\frac{1}{2}}(3^{2x} - 3^x + 1) > 0[/math]. Posto [math]z = 3^{2x} - 3^x + 1[/math], la disequazione diventa [math]\\log_{\frac{1}{2}}(z) > 0[/math], la cui soluzione è [math]0 , quindi la disequazione iniziale è soddisfatta se e solo se è verificata la seguente disequazione esponenziale
[math]0 Posto
[math]t = 3^x[/math], osservando che [math]t > 0[/math] per ogni [math]x \in \mathbb{R}[/math], si nota che risolvere la precedente disequazione equivale a risolvere il sistema
[math]\egin{cases} t^2 - t + 1 > 0 \\ t^2 - t + 1 0 \ \end{cases} \implies {(t^2 - t + 1 > 0),(t^2 - t 0):}[/math] La prima disequazione è soddisfatta per ogni
[math]t \in \mathbb{R}[/math], la seconda è soddisfatta per [math]0 , quindi il sistema è risolto per [math]0 , e ricordando la sostituzione [math]3^x = t[/math] si nota che
[math]0 egin{cases} 3^x > 0 \\ 3^x La prima disequazione è soddisfatta per ogni
[math]x \in \mathbb{R}[/math], la seconda invece è soddisfatta per [math]x , cioè [math]x . Quindi la disequazione logaritmica iniziale è soddisfatta per [math]x .
Per risolvere una disequazione logaritmica del tipo
- se
- se
Esempio: la disequazione
Disequazioni logaritmiche riconducibili alla forma elementare
Nei successivi esempi sono illustrati alcuni casi di disequazioni logaritmiche riconducibili alla forma elementare.
1) Risolvere
2) Risolvere
3) Risolvere
Posto
La prima disequazione è soddisfatta per ogni
La prima disequazione è soddisfatta per ogni