Equazioni esponenziali
Dato
[math]a \in \mathbb{R}^+[/math]
, un'equazione esponenziale elementare si scrive come
[math]a^x = b[/math]
1° caso: se
[math]b \le 0[/math]
l'equazione non ha soluzione 2° caso: se
[math]b > 0[/math]
e [math]a \ne 1[/math]
l'equazione ha una ed una sola soluzione, che vale [math]x = \\log_{a}(b)[/math]
3° caso: se
[math]b > 0[/math]
, [math]b \ne 1[/math]
e [math]a = 1[/math]
l'equazione non ha soluzione 4° caso: se
[math]b = 1[/math]
e [math]a = 1[/math]
l'equazione è soddisfatta per ogni [math]x \in \mathbb{R}[/math]
Nel caso particolare in cui l'equazione sia della forma
[math]a^{f(x)} = a^g(x)[/math]
([math]a \in \mathbb{R}^+ setmi
us {1}[/math]
), dato che le basi sono uguali basta risolvere l'equazione us {1}[/math]
[math]f(x) = g(x)[/math]
.
Nel caso in cui l'equazione non sia in forma elementare è possibile usare dei metodi, esposti nei seguenti esempi, che consentono di ricordursi a tale forma.
Esempi:
1)
[math]2^{x-3} = \frac{1}{4} \implies 2^x \cdot 2^{-3} = \frac{1}{4} \implies 2^x = \frac{1}{4} \cdot 2^3 \implies 2^x = 2 \implies x = 1[/math]
2)
[math]3^{3x + 5} = 3^{7x-10} \implies 3x + 5 = 7x - 10 \implies 4x = 15 \implies x = \frac{15}{4}[/math]
3)
[math]7 \cdot 3^x = 5 \cdot 2^x \implies \frac{3^x}{2^x} = \frac{5}{7} \implies (\frac{3}{2})^x = \frac{5}{7} \implies x = \\log_{\frac{3}{2}}(\frac{5}{7})[/math]
4)
[math]25^x -3 \cdot 5^x + 2 = 0 \implies (5^2)^x - 3 \cdot 5^x + 2 = 0 \implies 5^{2x} - 3 \cdot 5^x + 2 = 0 \implies (5^x)^2 - 3 \cdot 5^x + 2 = 0[/math]
Sostituzione
[math]t = 5^x[/math]
, si ottiene un'equazione di secondo grado
[math]t^2 - 3 t + 2 = 0 \implies t_1 = 2 \quad t_2 = 1[/math]
, ricordando la sostituzione fatta
[math]5^x = 2 \implies x = \\log_{5}(2)[/math]
[math]5^x = 1 \implies 5^x = 5^0 \implies x = 0[/math]
Equazioni logaritmiche
Dato
[math]a \in \mathbb{R}^+ setmi
us {1}[/math]
e us {1}[/math]
[math]b \in \mathbb{R}[/math]
, un'equazione logaritmica elementare è un'equazione della forma
[math]\\log_{a}(x) = b[/math]
ed ha una ed una sola soluzione che, per definizione di logaritmo, vale
[math]x = a^b[/math]
. Se un'equazione logaritmica si presenta nella forma
[math]\\log_{a}(f(x)) = \\log_{a}(g(x))[/math]
dove i logaritmi hanno la stessa base, per determinare la soluzione è sufficiente risolvere il sistema
[math]\egin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) = g(x) \ \end{cases}[/math]
Nei casi in cui l'equazione non si presenti in una di queste forme, è possibile usare dei metodi illustrati negli esempi seguenti.
Esempi:
1)
[math]\\log_{5}(3x - 2) = 6 \implies 3x - 2 = 5^6 \implies 3x = 5^6 - 2 \implies x = \frac{5^6 - 2}{3}[/math]
2)
[math]\\log_{4}(x-1) + \\log_{4}(x-3) = 2[/math]
Per l'esistenza dei logaritmi deve essere verificato il sistema
[math]\egin{cases} x-1>0 \\ x-3>0 \ \end{cases}[/math]
che ha come soluzione
[math]x > 3[/math]
. Applicando le proprietà dei logaritmi l'equazione logaritmica si scrive come
[math]\\log_{4}((x-1)(x-3)) = 2 \implies (x-1)(x-3) = 4^2 \implies x^2 -4x + 3 = 16 \implies x^2 - 4x - 13 = 0[/math]
che ha come soluzioni
[math]x_1 = 2 - \sqrt{17}[/math]
e [math]x_2 = 2 + \sqrt{17}[/math]
. Ma solo [math]x_2[/math]
risulta essere maggiore di [math]3[/math]
, quindi l'unica soluzione dell'equazione logaritmica è [math]x = 2 + \sqrt{17}[/math]
. 3)
[math](\\log_{2}(x))^2 - \\log_{2}(x) - 2 = 0[/math]
Per l'esistenza dei logaritmi deve risultare
[math]x>0[/math]
. Posto [math]t = \\log_{2}(x)[/math]
, si ottiene l'equazione di secondo grado [math]t^2 - t -2 = 0[/math]
che ha come soluzioni [math]t_1 = -1[/math]
e [math]t_2 = 2[/math]
. Ricordando la sostituzione fatta si ottengono le due soluzioni (che non violano la condizione di esistenza del logaritmo, essendo entrambe positive)
[math]\\log_{2}(x) = -1 \implies x = 2^{-1} \implies x_1 = \frac{1}{2}[/math]
[math]\\log_{2}(x) = 2 \implies x = 2^2 \implies x_2 = 4[/math]
