Definizione: una circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto dato detto centro.
Equazione cartesiana: l'equazione cartesiana di una circonferenza con centro in[math](\alpha, \beta)[/math]
e raggio [math]R[/math]
è
[math](x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = R^2[/math]
Analogamente l'equazione [math]x^2 + y^2 + ax + by + c = 0[/math]
, se [math]\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c \ge 0[/math]
, rappresenta una circonferenza con centro in
[math](-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2})[/math]
raggio pari a
[math]R = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2 - 4c}[/math]
Caso particolare: se
[math]\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c = 0[/math]
l'equazione [math]x^2 + y^2 + ax + by + c = 0[/math]
rappresenta il solo punto di coordinate [math](-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2})[/math]
. Circonferenze con centro nell'origine: l'equazione di una circonferenza di raggio [math]R[/math]
e centro nell'origine è [math]x^2 + y^2 = R^2[/math]
Equazione parametrica: data una circonferenza con equazione cartesiana
[math]x^2 + y^2 + ax + by + c = 0[/math]
(dunque [math]\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c \ge 0[/math]
), la sua equazione parametrica è
[math]\egin{cases} x = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c} \quad \\cos{t} \\ y = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c} \quad \\sin{t} \ \end{cases} qquad t in [0, 2 \\pi)[/math]
Circonferenze passanti per l'origine: l'equazione di una circonferenza passante per l'origine è [math]x^2 + y^2 + ax + by = 0[/math]
, in cui, rispetto all'equazione canonica, risulta [math]c=0[/math]
. Intersezioni fra una circonferenza e una retta: una circonferenza di equazione [math]x^2 + y^2 + ax + by + c = 0[/math]
e una retta di equazione [math]a'x + b'y + c'=0[/math]
si intersecano nei punti che risolvono il sistema
[math]\egin{cases} x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 \\ a'x + b'y + c' = 0 \ \end{cases}[/math]
Ricavando una variabile dalla seconda equazione e sostituendo tale valore nella prima si ottiene un'equazione di secondo grado, e indicando con [math]\Delta[/math]
il suo distcriminante si distinguono i tre seguenti casi - se [math]\Delta il sistema non ha soluzioni reali, e la retta risulta esterna alla circonferenza - se
[math]\Delta = 0[/math]
il sistema ha due soluzioni reali coincidenti, e in tal caso la retta risulta tangente alla circonferenza - se [math]\Delta > 0[/math]
il sistema ha due soluzioni reali distinte, e la retta risulta secante Rette tangenti ad una circonferenza: se [math]x^2 + y^2 + ax + by + c = 0[/math]
è l'equazione di una circonferenza [math]\gamma[/math]
, e [math]P = (x_0, y_0)[/math]
è un punto esterno alla circonferenza, allora le due tangenti a [math]\gamma[/math]
passanti per [math]P[/math]
hanno equazione [math]y - y_0 = m (x - x_0)[/math]
, dove i due valori di [math]m[/math]
si ottengono imponendo che il sistema
[math]\egin{cases} x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 \\ y - y_0 = m (x - x_0) \ \end{cases}[/math]
abbia due soluzioni reali coincidenti, esattamente come al passo precedente. Notare che se nel porre il discriminante uguale a zero si ottiene un'equazione in [math]m[/math]
di primo grado, allora una tangente è [math]x = x_0[/math]
. Circonferenza passante per tre punti: se [math](x_1, y_1)[/math]
, [math](x_2, y_2)[/math]
e [math](x_3, y_3)[/math]
sono tre punti non allineati, allora l'equazione della circonferenza passante per tali punti è [math]x^2 + y^2 + ax + by + c = 0[/math]
, dove i parametri [math]a,b,c[/math]
sono la soluzione del sistema
[math]\egin{cases} x_1^2 + y_1^2 + a x_1 + b y_1 + c = 0 \\ x_2^2 + y_2^2 + a x_2 + b y_2 + c = 0 \\ x_3^2 + y_3^2 + a x_3 + b y_3 + c = 0 \ \end{cases}[/math]
Circonferenza di cui si conosce il centro e un punto di passaggio: l'equazione della circonferenza con centro in [math](\alpha, \beta)[/math]
e passante per il punto [math](x_0, y_0)[/math]
è
[math](x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = (x_0 - \alpha)^2 + (y_0 - \beta)^2[/math]
Circonferenza di cui si conosce il centro e una retta tangente: l'equazione di una circonferenza con centro in [math](\alpha, \beta)[/math]
e tangente alla retta di equazione [math]ax + by + c = 0[/math]
è
[math](x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = \frac{(a \alpha + b \beta + c)^2}{a^2 + b^2}[/math]
Circonferenze concentriche: al variare di
[math]k \in \mathbb{R}[/math]
, l'equazione
[math](x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = k^2[/math]
rappresenta l'insieme di tutte le circonferenze con centro in
[math](\alpha, \beta)[/math]
.
Circonferenze tangenti ad una retta data in un punto: siano
[math]x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 = 0[/math]
e [math]x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 = 0[/math]
le equazioni di due circonferenze (distinte) tangenti in un punto [math]P = (x_0, y_0)[/math]
ad una retta [math]r[/math]
. Al variare di [math]h, k \in \mathbb{R}[/math]
, con [math]h \ne -k[/math]
, l'equazione
[math](h + k) x^2 + (h + k) y^2 + (h a_1 + k a_2) x + (h b_1 + k b_2) y + h c_1 + k c_2 = 0[/math]
rappresenta l'insieme di tutte le circonferenze tangenti alla retta
[math]r[/math]
nel punto [math]P[/math]
.
