Geometria analitica nello spazio: piano

Equazione cartesiana: l’equazione cartesiana di un piano passante per il punto $(x_0, y_0, z_0)$ e ortogonale al vettore $(a, b, c)$ è
$a (x – x_0) + b (y – y_0) + c (z – z_0) = 0$
o equivalentemente
$a x + b y + c z = d$, con $d = a x_0 + b y_0 + c z_0$
Piano passante per l’origine: un piano con equazione cartesiana $ax + by + cz = d$ passa per l’origine $(0, 0, 0)$ se e solo se $d = 0$.
Piano parallelo agli assi coordinati: dato un piano con equazione cartesiana $a x + b y + c z = d$
1) se $a=0$ e $b, c \ne 0$ il piano è parallelo all’asse $x$
2) se $b = 0$ e $a, c \ne 0$ il piano è parallelo all’asse $y$
3) se $c = 0$ e $a, b \ne 0$ il piano è parallelo all’asse $z$
Piano parallelo ai piani coordinati: dato un piano con equazione cartesiana $a x + b y + c z = d$
1) se $a = b = 0$ e $c \ne 0$ il piano è parallelo al piano $x y$
2) se $a = c = 0$ e $b \ne 0$ il piano è parallelo al piano $x z$
3) se $b = c = 0$ e $a \ne 0$ il piano è parallelo al piano $y z$
Piano passante per tre punti non allineati: l’equazione cartesiana del piano passante per i tre punti (non allineati)
$(x_1, y_1, z_1) \qquad (x_2, y_2, z_2) \qquad (x_3, y_3, z_3)$
è
$\det((x \quad, y \quad, z \quad, 1),(x_1 \quad, y_1 \quad, z_1 \quad, 1),(x_2 \quad, y_2 \quad, z_2 \quad, 1),(x_3 \quad, y_3 \quad, z_3 \quad, 1)) = 0$
Condizione di parallelismo: due piani con equazioni cartesiane $a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1$ e $a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2$ sono paralleli se e solo se i vettori $(a_1, b_1, c_1)$ e $(a_2, b_2, c_2)$ sono paralleli, cioè se esiste $k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ tale che
$(a_1, b_1, c_1) = k (a_2, b_2, c_2)$
Condizione di ortogonalità: due piani con equazioni cartesiane $a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1$ e $a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2$ sono ortogonali se e solo se i vettori $(a_1, b_1, c_1)$ e $(a_2, b_2, c_2)$ sono ortogonali cioè se
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$
Distanza di un punto da un piano: la distanza fra il punto $(x_0, y_0, z_0)$ e il piano di equazione $a x + b y + c z = d$ è
$”distanza” = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 – d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
Condizione di parallelismo fra una retta e un piano: un piano di equazione $a x + b y + c z = d$ e una retta di equazione
$\frac{x – x_0}{\alpha} = \frac{y – y_0}{\beta} = \frac{z – z_0}{\gamma}$
sono paralleli se e solo se
$a \alpha + b \beta + c \gamma = 0$

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Commenti

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C'è un commento su questo articolo:

  1. Davvero utile, spiegato bene e sinteticamente. Sono alle prese con Geometria e Combinatoria (Ingegneria Informatica) a Roma Tre e ho trovato davvero utile quest’articolo.
    Ti ringrazio!