Equazione parametrica: l'equazione parametrica di una retta parallela al vettore (non nullo)
[math](a,b,c)[/math]
e passante per il punto
[math](x_0, y_0, z_0)[/math]
è
[math]\egin{cases} x = x_0 + t a \\ y = y_0 + t b \\ z = z_0 + t c \ \end{cases} qquad t \in \mathbb{R}[/math]
Equazione cartesiana: una retta nello spazio è l'intersezione di due piani (ovviamente non paralleli), pertanto l'equazione cartesiana di una retta nello spazio rappresenta, in ogni caso, l'intersezione fra due piani.
L'equazione della retta data dall'intersezione dei piani
[math]a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1[/math]
e
[math]a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2[/math]
è banalmente
[math]\egin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \ \end{cases}[/math]
Una retta può essere individuata conoscendo un vettore ad essa parallelo e un punto di passaggio, Così, se
[math]a, b, c \ne 0[/math]
, l'equazione cartesiana della retta passante per
[math](x_0, y_0, z_0)[/math]
e parallela al vettore
[math](a,b,c)[/math]
è
[math]\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}[/math]
Se uno o due fra parametri
[math]a,b,c[/math]
sono nulli l'equazione cartesiana si modifica leggermente. Ad esempio se
[math]b = 0[/math]
e
[math]a, c \ne 0[/math]
l'equazione cartesiana diventa
[math]\egin{cases} \frac{x - x_0}{a} = \frac{z - z_0}{c} \\ y = y_0 \ \end{cases}[/math]
Se ad esempio
[math]a = b = 0[/math]
e
[math]c \ne 0[/math]
l'equazione cartesiana diventerebbe
[math]\egin{cases} x = x_0 \\ y = y_0 \ \end{cases}[/math]
Retta passante per due punti: l'equazione parametrica della retta passante per i punti
[math](x_1, y_1, z_1)[/math]
e
[math](x_2, y_2, z_2)[/math]
è
[math]\egin{cases} x = x_1 + t (x_2 - x_1) \\ y = y_1 + t (y_2 - y_1) \\ z = z_1 + t (z_2 - z_1) \ \end{cases} qquad t \in \mathbb{R}[/math]
Condizione di parallelismo: due rette, le cui equazioni parametriche sono
[math]\egin{cases} x = x_1 + t a_1 \\ y = y_1 + t b_1 \\ z = z_1 + t c_1 \ \end{cases} qquad {(x = x_2 + t a_2),(y = y_2 + t b_2),(z = z_2 + t c_2):} qquad t \in \mathbb{R}[/math]
sono parallele se e solo se i vettori
[math](a_1, b_1, c_1)[/math]
e
[math](a_2, b_2, c_2)[/math]
sono paralleli, cioè se esiste
[math]k \in \mathbb{R} setmi
us {0}[/math]
tale che
[math](a_1, b_1, c_1) = k (a_2, b_2, c_2)[/math]
Condizione di ortogonalità : due rette, le cui equazioni parametriche sono
[math]\egin{cases} x = x_1 + t a_1 \\ y = y_1 + t b_1 \\ z = z_1 + t c_1 \ \end{cases} qquad {(x = x_2 + t a_2),(y = y_2 + t b_2),(z = z_2 + t c_2):} qquad t \in \mathbb{R}[/math]
sono ortogonali se e solo se i vettori
[math](a_1, b_1, c_1)[/math]
e
[math](a_2, b_2, c_2)[/math]
sono ortogonali, cioè se e solo se
[math]a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0[/math]
Retta passante per un punto e ortogonale ad un piano: l'equazione cartesiana della retta pasante per il punto
[math](x_0, y_0, z_0)[/math]
e ortogonale al piano di equazione
[math]a x + b y + c z + d = 0[/math]
(con
[math]a, b, c \ne 0[/math]
) è
[math]\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}[/math]
