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Formulario Autovalori di una matrice
| Autovalori di una matrice | di Gianni Sammito |
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Data una matrice $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, gli autovalori, reali o complessi, di $A$ sono tutte e sole le costanti $\lambda \in \mathbb{C}$ tali per cui la matrice $\lambda I - A$ risulta singolare ($I$ è la matrice identità dello stesso ordine di $A$).
Calcolo degli autovalori
1) A partire dalla matrice $A$, il primo passo è quello di costruire la matrice $\lambda I - A$, e di calcolarne il determinante. Tale determinante si chiama polinomio caratteristico, e si indica con $p(\lambda)$.
2) Come secondo passo si risolve l'equazione $p(\lambda) = 0$; le soluzioni di tale equazione sono gli autovalori di $A$.
3) Se $\lambda_i$ è una radice del polinomio caratteristico, quindi un autovalore, si dice molteplicità algebrica di $\lambda_i$ la molteplicità di $\lambda_i$ come radice del polinomio caratteristico.
Dato che $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, il polinomio caratteristico è un polinomio a coefficienti reali di grado $n$. Questo vuol dire che ammette esattamente $n$ radici in $\mathbb{C}$, ognuna contata con la sua molteplicità, e inoltre se $\lambda_i$ è una radice complessa di $p(\lambda)$, allora anche $\bar{\lambda_i}$ è radice di $p(\lambda)$.
Quindi una matrice quadrata a coefficienti reali di ordine $n$ ha esattamente $n$ autovalori (reali o complessi) ognuno contato con la sua molteplicità, e inoltre se $\lambda_i$ è un autovalore complesso, allora anche il suo complesso coniugato è un autovalore.
Esempio: calcolare gli autovalori (reali o complessi) della matrice
$A = ((0, \quad 1, \quad 0),(-2, \quad -3, \quad \frac{1}{2}),(0, \quad 0, \quad 0))$
Per prima cosa si costruisce la matrice $\lambda I - A$
$\lambda I - A = \lambda ((1, \quad 0, \quad 0),(0, \quad 1, \quad 0),(0, \quad 0, \quad 1)) - ((0, \quad 1, \quad 0),(-2, \quad -3, \quad \frac{1}{2}),(0, 0, 0)) = ((\lambda, \quad 0, \quad 0),(0, \quad \lambda, \quad 0),(0, \quad 0, \quad \lambda)) - ((0, \quad 1, \quad 0),(-2, \quad -3, \quad \frac{1}{2}),(0, 0, 0)) = ((\lambda, \quad -1, \quad 0),(2, \quad \lambda + 3, \quad -\frac{1}{2}),(0, \quad 0, \quad \lambda))$
Adesso occorre calcolare il determinante di questa matrice: sviluppando rispetto all'ultima riga si ottiene
$p(\lambda) = \lambda \cdot \det((\lambda, \quad -1),(2, \quad \lambda + 3)) = \lambda (\lambda^2 + 3 \lambda + 2)$
Ponendo $p(\lambda = 0)$ si ottiene $\lambda (\lambda^2 + 3 \lambda + 2) = 0$, da cui
$\lambda_1 = 0$
$\lambda^2 + 3 \lambda + 2 = 0 \implies \lambda_2 = -2, \quad \lambda_3 = -1$
Quindi gli autovalori di $A$ sono $-2, -1, 0$, ed hanno tutti molteplicità algebrica pari a uno.
Scritto da , il 29-01-2011 15:09 Per Marco che tu scriva A-LI oppure LI-A in questo caso è la stessa cosa. per trovare gli autovalori si deve risolvere il sistema (A-LI)x = 0 con x=(x1, x2, x3); ma (A-LI)x = 0 => -1*(A-LI)x = -1*0 => (LI-A)x = 0; Come vedi è equivalente. Spero di essermi spiegato chiaramente :D Scritto da , il 02-02-2010 16:15 non dovrebbe essere A-LI e non LI-A??? Scritto da , il 03-01-2009 10:59 Bravi ;siete chiarissimi nella spiegazione Scrivi Commento
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