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Formulario Autovettori e autospazi
| Autovettori e autospazi | di Gianni Sammito |
Definizione
Data una matrice $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, sia $\lambda_i \in \mathbb{C}$ un suo autovalore. Si dice che $v \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}$ ($v$ vettore di $\mathbb{C}^n$ diverso dal vettore nullo) è un autovettore di $A$ relativo all'autovalore $\lambda_i$ se e solo se risulta
$A v = \lambda_i v$
o equivalentemente
$(\lambda_i I - A) v = O$
Lo spazio vettoriale generato dagli autovettori relativi a $\lambda_i$ si chiama autospazio di $A$ relativo all'autovalore $\lambda_i$. La dimensione di tale autospazio si chiama molteplicità geometrica dell'autovalore $\lambda_i$.
Per ogni autovalore $\lambda_i$, se $\mu_i$ indica la sua molteplicità algebrica e $\nu_i$ indica la sua molteplicità geometrica, vale
$0 < \nu_i \le \mu_i$
Quindi se un autovalore ha molteplicità algebrica $1$, allora ha necessariamente molteplicità geometrica pari a $1$.
Calcolo degli autovettoriCalcolo degli autovettori
1) Data $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. si calcolano gli autovalori della matrice $A$
2) Considerato l'autovalore $\lambda_i$, si costruisce il sistema $(\lambda_i I - A) v = O$
3) Tutte le soluzioni non banali, cioè tutti i vettori $v$ diversi dal vettore nullo, che risolvono il sistema sono gli autovettori di $A$ relativi all'autovalore $\lambda_i$
4) Si ripetono i punti 2) e 3) per tutti gli autovalori trovati al punto 1)
Esempio: calcolo degli autovettori della matrice
$A = ((0, \quad 1, \quad 0),(-2, \quad -3, \quad \frac{1}{2}),(0, \quad 0, \quad 0))$
Gli autovalori di $A$ sono $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = -2$, $\lambda_3 = -1$. Per calcolare gli autovettori relativi a $\lambda_1$ si calcola la matrice $\lambda_1 I - A$ e si imposta il sistema $(\lambda_1 I - A) v = O$
$\lambda_1 I - A = - A = ((0, \quad -1, \quad 0),(2, \quad 3, \quad -\frac{1}{2}),(0, \quad 0, \quad 0))$
da cui
$(\lambda_1 I - A) v = O \implies ((0, \quad -1, \quad 0),(2, \quad 3, \quad -\frac{1}{2}),(0, \quad 0, \quad 0)) ((v_1),(v_2),(v_3)) = ((0),(0),(0)) \implies \{(- v_2 = 0),(2 v_1 + 3 v_2 - \frac{1}{2} v_3 = 0),(0 = 0):}$
Ponendo $v_3 = \alpha$ come parametro libero, dove $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, si ottiene
$\{(-v_2 = 0),(v_1 = \frac{1}{4} v_3),(v_3 = \alpha):} = \{(v_1 = \frac{\alpha}{4}),(v_2 = 0),(v_3 = \alpha):}$
Al variare di $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ il generico autovettore relativo a $\lambda_1$ è
$v = ((\frac{\alpha}{4}),(0),(\alpha)) = \alpha ((\frac{1}{4}),(0),(1))$
Una base per l'autospazio relativo all'autovalore $\lambda_1$ è $\{(\frac{1}{4}, 0, 1)}$. Dato che la dimensione dell'autospazio è $1$ la molteplicità gemetrica di tale autovalore è $1$ (come era logico aspettarsi, dato che è $1$ la molteplicità algebrica).
Per calcolare gli autovettori relativi a
$\lambda_2$ si calcola la matrice $\lambda_2 I - A$ e si imposta il
sistema $(\lambda_2 I - A) v = O$
$\lambda_2 I - A = - 2 I - A = ((-2, \quad -1, \quad 0),(2, \quad 1, \quad -\frac{1}{2}),(0, \quad 0, \quad -2))$
da cui
$(\lambda_2 I - A) v = O \implies ((-2, \quad -1, \quad 0),(2, \quad 1, \quad -\frac{1}{2}),(0, \quad 0, \quad -2))
((v_1),(v_2),(v_3)) = ((0),(0),(0)) \implies$
$\implies \{(-2 v_1 - v_2 = 0),(2 v_1 +
v_2 - \frac{1}{2} v_3 = 0),(-2 v_3 = 0):} \implies \{(v_2 = -2 v_1),(-2 v_1 + 2 v_1 = 0),(v_3 = 0):}$
Ponendo $v_2 = \alpha$ come parametro libero, dove $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, si ottiene
$\{(v_1 = -\frac{v_2}{2}),(v_2 = \alpha),(v_3 = 0):}$
Al variare di $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ il generico autovettore relativo a $\lambda_2$ è
$v = ((-\frac{\alpha}{2}),(\alpha),(0)) = \alpha ((-\frac{1}{2}),(1),(0))$
Una base per l'autospazio relativo all'autovalore
$\lambda_2$ è $\{(-\frac{1}{2}, 1, 0)}$. Dato che la dimensione
dell'autospazio è $1$ la molteplicità gemetrica di tale autovalore è
$1$ (come era logico aspettarsi, dato che è $1$ la molteplicità
algebrica).
Per calcolare gli autovettori relativi a
$\lambda_3$ si calcola la matrice $\lambda_3 I - A$ e si imposta il
sistema $(\lambda_3 I - A) v = O$
$\lambda_3 I - A = - I - A = ((-1, \quad -1, \quad 0),(2, \quad 2, \quad -\frac{1}{2}),(0, \quad 0, \quad -1))$
da cui
$(\lambda_3 I - A) v = O \implies ((-1, \quad -1, \quad 0),(2, \quad 2, \quad -\frac{1}{2}),(0, \quad 0, \quad -1))
((v_1),(v_2),(v_3)) = ((0),(0),(0)) \implies$
$\implies \{(-v_1 - v_2 = 0),(2 v_1 + 2
v_2 - \frac{1}{2} v_3 = 0),(-v_3 = 0):} \implies \{(v_1 = - v_2),(0 = 0),(v_3 = 0):}$
Ponendo $v_2 = \alpha$ come parametro libero, dove $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, si ottiene
$\{(v_1 = -\alpha),(v_2 = \alpha),(v_3 = 0):}$
Al variare di $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ il generico autovettore relativo a $\lambda_3$ è
$v = ((-\alpha),(\alpha),(0)) = \alpha ((-1),(1),(0))$
Una base per l'autospazio relativo all'autovalore
$\lambda_3$ è $\{(-1, 1, 0)}$. Dato che la dimensione
dell'autospazio è $1$ la molteplicità gemetrica di tale autovalore è
$1$ (come era logico aspettarsi, dato che è $1$ la molteplicità
algebrica).
Scritto da , il 18-01-2012 14:53 Sostanzialmente è uguale. Dato che quella differenza devi porla uguale a 0, mettere un segno moltiplicativo davanti non cambia. Scritto da , il 20-01-2009 07:34 Ma non era $(A- \lambda_i*I)$ invece di $(\lambda_i*I - A)$ Scrivi Commento
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