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Formulario Densità normale multivariata
| Densità normale multivariata | di Gianni Sammito |
Definizione
Data una variabile aleatoria vettoriale continua $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$, le variabili aleatorie $X_1, X_2, \ldots, X_n$ si dicono congiuntamente gaussiane se e solo se esistono un vettore $\mu \in \mathbb{R}^n$ e una matrice definita positiva $\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}$ tali che la densità di probabilità congiunta di $X$ possa essere scritta come
$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^n \det(\Sigma)}} e^{-\frac{1}{2} (x - \mu)^T \Sigma^{-1} (x - \mu)}$
Notare che i vettori sono intesi come colonne, quindi $(x - \mu)^T$ è un vettore riga mentre $(x - \mu)$ è un vettore colonna.
Proprietà
Se $X_1, X_2, \ldots, X_n$ sono variabili aleatorie congiuntamente gaussiane, allora $\mu$ è il valore atteso di $X$ mentre $\Sigma$ è la matrice di covarianza di $X$.
Se $X_1, X_2, \ldots, X_n$ sono congiuntamente gaussiane e scorrelate, allora sono anche indipendenti.
Se $X_1, X_2, \ldots, X_n$ sono congiuntamente gaussiane e indipendenti, allora la matrice di covarianza è una matrice diagonale.
Se $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ è un vettore di variabili aleatorie congiuntamente gaussiane, comunque si scelgano $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ e $b \in \mathbb{R}^m$, la variabile aleatoria data da
$Y = A X + b$
è un vettore di variabili aleatorie congiuntamente gaussiane, con
$E[Y] = A E[X] + b$
$\Sigma_Y = A \Sigma_X A^T$ ($\Sigma_Y$ e $\Sigma_X$ sono le matrici di covarianza di $Y$ e $X$)
Se $X_1, X_2, \ldots, X_n$ sono variabili aleatorie congiuntamente gaussiane, allora ogni variabile $X_i$, $1 \le i \le n$, è una variabile aleatoria gaussiana.
Scritto da , il 28-01-2012 09:32 la variabile aleatoria Y si distribuisce come una normale di m dimensioni? Scrivi Commento
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