Proprietà della derivata e regole di derivazione
Linearità
$(f \pm g)' = f' \pm g' \qquad$ (additività)
$(c \cdot f)' = c \cdot f' \qquad \forall c \in \mathbb{R} \qquad$ (omogeneità)
Esempio: $(5 \sin(x) + 6 \cos(x))' = (5 \sinx(x))' + (6 \cos(x))' = 5 (\sin(x))' + 6 (\cos(x))' = 5 \cos(x) - 6 \sin(x)$
Derivata di un prodotto
$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$
Esempio: $(x \cos(x))' = (x)' \cdot \cos(x) + x \cdot (\cos(x))' = 1 \cdot \cos(x) + x (-\sin(x)) = \cos(x) - x \sin(x)$
Derivata di un quoziente
$(\frac{f}{g})^' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$
Esempio: $(\frac{x^2}{\ln(x)})^' = \frac{(x^2)' \cdot \ln(x) - x^2 \cdot (\ln(x))'}{\ln^2(x)} = \frac{2x \ln(x) - x^2 \frac{1}{x}}{\ln^2(x)} = \frac{2x \ln(x) - x}{\ln^2(x)}$
Derivata del reciproco
$(\frac{1}{g})^' = - \frac{g'}{g^2}$
Esempio: $(\frac{1}{"tg"(x)})^' = - \frac{\frac{1}{1 + x^2}}{"tg"^2(x)} = -\frac{1}{(1 + x^2) "tg"^2(x)}$
Derivata di una funzione composta
$(g \circ f)' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$
Esempio: $(\sqrt{\sin(x)})^' = \frac{1}{2 \sqrt{\sin(x)}} \cdot (\sin(x))' = \frac{1}{2 \sqrt{\sin(x)}} \cdot \cos(x)$
Derivate di funzioni del tipo $f(x)^{g(x)}$
$(f(x)^{g(x)})' = (e^{g(x) \ln(f(x))})^' = f(x)^{g(x)} \cdot (g'(x) \ln(f(x)) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)})$
Esempio: $(x^x)^' = x^x ((x)' \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{(x)'}{x}) = x^x (\ln(x) + 1)$
Derivata di un valore assoluto
$|f(x)|^' = "sgn"(f(x)) \cdot f'(x)$
Esempio: $|x|' = "sgn"(x)$ (notare che in $x=0$ la funzione $|x|$ non è derivabile)
Derivata della funzione inversa
Sia $f: A \to B$ una funzione invertibile e sia $g: B \to A$ la sua inversa. Vale $g(f(x)) = x \quad \forall x \in A$ e $f(g(y)) = y \quad \forall y \in B$; se $f$ è derivabile in $x$ e $f'(x) \ne 0$ allora
$g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$
Tavola delle derivate fondamentali
$f(x)$
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$f'(x)$
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$c$ (costante)
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0 |
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$x$
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$1$ |
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$\frac{1}{x}$
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$-\frac{1}{x^2}$ |
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$x^{a}$
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$a x^{a - 1}$ |
$a \in \mathbb{R}$ |
$e^x$
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$e^x$ |
|
$a^x$
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$a^x \ln(a)$ |
$a \in \mathbb{R}^+$
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| $\ln(x)$ |
$\frac{1}{x}$ |
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$\log_{a}(x)$
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$\frac{1}{x \ln(a)} = \frac{1}{x} \log_a(e)$ |
$a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ |
| $\sin(x)$ |
$\cos(x)$ |
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$\cos(x)$
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$-\sin(x)$ |
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| $"tg"(x)$ |
$\frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + "tg"^2(x)$ |
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$"cotg"(x)$
|
$-\frac{1}{\sin^2(x)} = -1 - "cotg"^2(x)$ |
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| $"arcsin"(x)$ |
$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
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| $"arccos"(x)$ |
$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
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$"arctg"(x)$
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$\frac{1}{1 + x^2}$ |
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$"arccotg"(x)$
|
$-\frac{1}{1 + x^2}$ |
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$\sinh(x)$
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$\cosh(x)$ |
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$\cosh(x)$
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$\sinh(x)$ |
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$"tgh"(x)$
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$\frac{1}{\cosh^2(x)} = 1 - "tgh"^2(x)$ |
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| $"cotgh"(x)$ |
$-\frac{1}{\sinh^2(x)} = 1 - "cotgh"^2(x)$ |
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| $"settsinh"(x)$ |
$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ |
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$"settcosh"(x)$
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$\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ |
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| $"setttgh"(x)$ |
$\frac{1}{1 - x^2}$ |
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$"settcotgh"(x)$
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$\frac{1}{1 - x^2}$ |
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Formulario 
