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Formulario Determinante di una matrice
| Determinante di una matrice | di Gianni Sammito |
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Il determinante è definito solo per matrici quadrate, cioè per matrici che hanno lo stesso numero di righe e colonne. Il calcolo del determinante sfrutta un metodo ricorsivo: si definisce il determinante per matrici $1 \times 1$ (cioè costanti) e $2 \times 2$, fatto questo si definisce il determinante di una matrice $n \times n$ come il determinante di una o più matrici $(n-1) \times (n-1)$, e si applica tale regola fino a ricondursi a matrici di ordine $2 \times 2$ o a costanti.
Matrici $1 \times 1$
Il determinante di una matrice $1 \times 1$, cioè di una costante, coincide con la costante stessa, cioè $\det(c) = c \quad \forall c \in \mathbb{R}$.
Matrici $2 \times 2$
Il determinante di una matrice $2 \times 2$, del tipo
$((a, \quad b),(c, \quad d))$
vale
$\det((a, \quad b),(c, \quad d)) = ad - bc$
Matrici $n \times n$
Prima di vedere come avviene il calcolo del determinante di una matrice $n \times n$, occorrono due definizioni.
Minore complementare: data una matrice $A$ di ordine $n \times n$, si definisce minore complementare dell'elemento di posto $ij$, e si indica con $M_{ij}$, come il determinante della matrice che si ottiene cancellando l'$i$-esima riga e la $j$-esima colonna.
Complemento algebrico: data una matrice $A$ di ordine $n \times n$, si definisce complemento algebrico dell'elemento di posto $ij$, e si indica con $C_{ij}$, come $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$, dove $M_{ij}$ è il minore complementare.
Determinante: il determinante di una matrice $A$ quadrata di ordine $n \times n$ equivale alla somma dei prodotti fra gli elementi di una qualunque riga, o colonna, per il rispettivi complementi algebrici. Se ad esempio si scegliesse di sviluppare rispetto alla riga $i$-esima il determinante varrebbe
$\det(A) = a_{i1} C_{i1} + a_{i2} C_{i2} + \ldots + a_{i n} C_{i n}$
Se invece si scegliesse di sviluppare rispetto alla colonna $j$-esima il determinante varrebbe
$\det(A) = a_{1j} C_{1j} + a_{2j} C_{2j} + \ldots + a_{nj} C_{nj}$
In entrambi i casi con $a_{ij}$ si intende l'elemento di posto $ij$ della matrice $A$. Il determinante non dipende dalla particolare riga o colonna che si sceglie per lo sviluppo.
Esempio: calcolare il determinante della matrice
$A = ((5, \quad 6, \quad 3),(1, \quad 2, \quad 7),(3, \quad 4, \quad 5))$
Sviluppando rispetto alla prima colonna si ottiene
$\det(A) = 5 (-1)^{1+1} \det((2, \quad 7),(4, \quad 5)) + 1 (-1)^{2+1} \det((6, \quad 3),(4, \quad 5)) + 3 (-1)^{3+1} \det((6, \quad 3),(2, quad 7)) = $
$ = 5 \det((2, \quad 7),(4, \quad 5)) -
\det((6, \quad 3),(4, \quad 5)) + 3 \det((6, \quad 3),(2,
quad 7)) = $
$ = 5 (2 \cdot 5 - 4 \cdot 7) - (6 \cdot 5 - 4 \cdot 3) + 3 (6 \cdot 7 - 2 \cdot 3) = -90 -18 + 108 = 0$
Proprietà del determinante
Il determinante della matrice identità è $1$
$\det(I) = 1$ (qualunque sia l'ordine di $I$)
Se $A$ è una matrice triangolare superiore (in cui tutti gli elementi sotto la diagonale principale sono nulli), triangolare inferiore (in cui tutti gli elementi sopra la diagonale principale sono nulli), o diagonale (in cui tutti gli elementi sopra e sotto la diagonale principale sono nulli), e $a_1, a_2, \ldots, a_n$ sono gli elementi sulla diagonale, allora
$\det(A) = a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n = \prod_{i=1}^n a_i$
Se $A$ e $B$ sono due matrici quadrate dello stesso ordine, allora
$\det(A B) = \det(A) \det(B)$ (teorema di Binet)
Se $\det(A) \ne 0$, e $B$ è l'inversa di $A$, cioè tale che $AB = I$, allora
$\det(A) = \frac{1}{\det(B)}$
Se $A$ è una matrice quadrata con (almeno) una riga e/o una colonna nulla, allora $\det(A) = 0$. Se due righe, o due colonne, sono una multipla dell'altra, allora $\det(A) = 0$. In generale se una riga (risp. colonna) è data dalla combinazione lineare delle altre righe (risp. colonne), allora $\det(A) = 0$.
Il determinante di una matrice quadrata coincide col determinante della sua trasposta
$\det(A) = \det(A^T)$
Se $A$ è una matrice quadrata, e $B$ è la matrice ottenuta moltiplicando una riga (o una colonna) di $A$ per $\lambda \in \mathbb{R}$, allora
$\det(B) = \lambda \det(A)$
Se $A$ è una matrice quadrata, e
$B$ è una matrice ottenuta ad una riga (o una colonna) di $A$ un'altra riga (o colonna) eventualmente moltiplicata per $\lambda \in \mathbb{R}$, allora
$\det(B) = \det(A)$
Se $A$ è una matrice quadrata, e $B$ è una matrice ottenuta scambiando di posto due righe, o due colonne, di $A$, allora
$\det(B) = - \det(A)$
Se $A$ è una matrice quadrata di ordine $n \times n$ allora, per ogni $\lambda \in \mathbb{R}$, vale
$\det(\lambda \cdot A) = \lambda^n \det(A)$
Matrici $3 \times 3$: metodo di Sarrus
Il determinante di matrici di ordine $3 \times 3$ può essere calcolato anche applicando il metodo di Sarrus. A partire da una matrice del tipo
$((a_{11}, \quad a_{12}, \quad a_{13}),(a_{21}, \quad a_{22}, \quad a_{23}),(a_{31}, \quad a_{32}, \quad a_{33}))$
A questo punto si copiano le prime due colonne a fianco della terza, ottenendo una matrice di questo tipo
$((a_{11}, \quad a_{12}, \quad a_{13}, \quad a_{11}, \quad a_{12}),(a_{21}, \quad a_{22}, \quad a_{23}, \quad a_{21}, \quad a_{22}),(a_{31}, \quad a_{32}, \quad a_{33}, \quad a_{31}, \quad a_{32}))$
Ora si eseguono i prodotto secondo le diagonali ilustrate in figura,
si sommano i termini ottenuti seguendo le diagonali nere, e gli si sottraggono quelli ottenuti seguendo le diagonali rosse. Il determinante quindi risulta essere pari a
$a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{12} \cdot a_{32} - a_{31} \cdot a_{22} \cdot a_{13} - a_{32} \cdot a_{23} \cdot a_{11} - a_{33} \cdot a_{21} \cdot a_{12}$
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