Matematicamente

Caso $a x^2 + bx + c \ge 0$

Sia $\Delta = b^2 - 4 ac$ il discriminante del polinomio $a x^2 + bx + c$, e siano $x_1$ e $x_2$ le soluzioni (eventualmente complesse) dell'equazione associata $a x^2 + bx + c = 0$. Per determinare la soluzione della disequazione $ax^2 + bx + c \ge 0$ si distinguono i seguenti casi

- se $\Delta < 0$ e $a > 0$ la disequazione è soddisfatta per ogni $x \in \mathbb{R}$

- se $\Delta < 0$ e $a < 0$ non esiste $x \in \mathbb{R}$ per cui la disequazione sia soddisfatta

- se $\Delta = 0$ e $a > 0$ la disequazione è soddisfatta per ogni $x \in \mathbb{R}$

- se $\Delta = 0$ e $a < 0$ la disequazione è soddisfatta per il solo valore $x = x_1$ (notare che in questo caso risulta $x_1 = x_2$)

- se $\Delta > 0$ e $a > 0$, supponendo senza perdita di generalità $x_1 < x_2$, la disequazione è soddisfatta per $x \le x_1 \quad \vee \quad x \ge x_2$

- se $\Delta > 0$ e $a < 0$, supponendo senza perdita di generalità $x_1 < x_2$, la disequazione è soddisfatta per $x_1 \le x \le x_2$

Esempio: risolvere $x^2 - 3x + 2 \ge 0$. Risulta $\Delta > 0$, e le soluzioni dell'equazione associata sono $x_1 = 1$ e $x_2 = 2$. Dato che $a = 1 > 0$ la disequazione è soddisfatta per $x \le 1 \quad \vee x \ge 2$.

Caso $a x^2 + bx + c > 0$

Sia $\Delta = b^2 - 4 ac$ il discriminante del polinomio $a x^2 + bx + c$, e siano $x_1$ e $x_2$ le soluzioni (eventualmente complesse) dell'equazione associata $a x^2 + bx + c = 0$. Per determinare la soluzione della disequazione $ax^2 + bx + c > 0$ si distinguono i seguenti casi

- se $\Delta < 0$ e $a > 0$ la disequazione è soddisfatta per ogni $x \in \mathbb{R}$

- se $\Delta < 0$ e $a < 0$ non esiste $x \in \mathbb{R}$ per cui la disequazione sia soddisfatta

- se $\Delta = 0$ e $a > 0$ la disequazione è soddisfatta per $x \ne x_1$ (notare che in questo caso risulta $x_1 = x_2$)

- se $\Delta = 0$ e $a < 0$ non esiste $x \in \mathbb{R}$ per cui la disequazione sia soddisfatta

- se $\Delta > 0$ e $a > 0$, supponendo senza perdita di generalità $x_1 < x_2$, la disequazione è soddisfatta per $x < x_1 \quad \vee \quad x > x_2$

- se $\Delta > 0$ e $a < 0$, supponendo senza perdita di generalità $x_1 < x_2$, la disequazione è soddisfatta per $x_1 < x < x_2$