Matematicamente

Caso $\log_{a}(x) \le b$

Per risolvere una disequazione logaritmica del tipo $\log_{a}(x) \le b$ si distinguono i seguenti casi:

- se $0 < a < 1$ la disequazione è soddisfatta per $x \ge a^b$

- se $a > 1$ la disequazione è soddisfatta per $0 < x \le a^b$

Caso $\log_{a}(x) < b$

Per risolvere una disequazione logaritmica del tipo $\log_{a}(x) < b$ si distinguono i seguenti casi:

- se $0 < a < 1$ la disequazione è soddisfatta per $x > a^b$

- se $a > 1$ la disequazione è soddisfatta per $0 < x < a^b$

Disequazioni logaritmiche riconducibili alla forma elementare

Nei successivi esempi sono illustrati alcuni casi di disequazioni logaritmiche riconducibili alla forma elementare.

1) Risolvere $\log_{5}(x-7) > 2$. Posto $x-7 = t$, la disequazione diventa $\log_{5}(t) > 2$, la cui soluzione è

$t > 5^3 \implies t > 25 \implies x - 7 > 25 \implies x > 32$

2) Risolvere $\log_{\frac{1}{2}}(3x - 2) > 3$. Posto $3x - 2 = t$, la disequazione diventa $\log_{\frac{1}{2}}(t) > 3$, la cui soluzione è

$0 < t < \frac{1}{8} \implies 0 < 3x - 2 < \frac{1}{8} \implies 2 < 3x < \frac{1}{8} + 2 \implies 2 < 3x < \frac{17}{8} \implies \frac{2}{3} < x < \frac{17}{24}$

3) Risolvere $\log_{\frac{1}{2}}(3^{2x} - 3^x + 1) > 0$. Posto $z = 3^{2x} - 3^x + 1$, la disequazione diventa $\log_{\frac{1}{2}}(z) > 0$, la cui soluzione è $0 < z < 1$, quindi la disequazione iniziale è soddisfatta se e solo se è verificata la seguente disequazione esponenziale

$0 < 3^{2x} - 3^x + 1 < 1$

Posto $t = 3^x$, osservando che $t > 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$, si nota che risolvere la precedente disequazione equivale a risolvere il sistema

$\{(t^2 - t + 1 > 0),(t^2 - t + 1 < 1),(t > 0):} \implies \{(t^2 - t + 1 > 0),(t^2 - t < 0),(t > 0):}$

La prima disequazione è soddisfatta per ogni $t \in \mathbb{R}$, la seconda è soddisfatta per $0 < t < 1$, quindi il sistema è risolto per $0 < t < 1$, e ricordando la sostituzione $3^x = t$ si nota che

$0 < t < 1 \iff \{(3^x > 0),(3^x < 1):}$

La prima disequazione è soddisfatta per ogni $x \in \mathbb{R}$, la seconda invece è soddisfatta per $x < \log_{3}(1)$, cioè $x < 0$. Quindi la disequazione logaritmica iniziale è soddisfatta per $x < 0$.