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Formulario EDO a coefficienti variabili notevoli
| EDO a coefficienti variabili notevoli | di Gianni Sammito |
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Equazione di Eulero
L'equazione di Eulero è un'equazione differenziale della forma
$x^2 \cdot y'' + a x \cdot y' + b y = 0$
Con la sostituzione $y(x) = x^r$ si arriva alla seguente equazione in $r$
$r^2 + (a-1)r + b = 0$
Risolta questa equazione, si hanno due possibilità:
- se $r_1 \ne r_2$ l'integrale generale è $y(x) = c_1 x^{r_1} + c_2 x^{r_2}$
- se $r_1 = r_2 = r$ l'integrale generale è $y(x) = (c_1 \ln(x) + c_2) x^r$
Equazione di Legendre
L'equazione di Legendre è un'equazione differenziale della forma
$[(1 - x^2) y']^' - 2 x y' + n (n+1) y = 0$
Le soluzioni sono della forma $y(x) = P_n(x)$, dove i $P_n$ sono i polinomi di Legendre, definiti da
$P_n(x) = \frac{1}{2^n \cdot n!} \frac{d^n}{d x^n} ((x^2 - 1)^n)$
Equazione di Laguerre
L'equazione di Laguerre è un'equazione differenziale del tipo
$x y'' + (1-x) y' + n y = 0$
Soluzioni di questa equazione sono le funzioni $y(x) = L_n(x)$, dove $L_n$ sono i polinomi di Laguerre, definiti da
$L_n(x) = \frac{e^x}{n!} \frac{d^n}{d x^n} (x^n e^{-x})$
Equazione di Laguerre associata
Le equazioni di Laguerre associate sono equazioni del tipo
$y'' + (\frac{m+1}{x} - 1) y' + (\frac{n + \frac{1}{2} (m+1)}{x}) y = 0$
Soluzioni di questa equazione sono i polinomi associati di Laguerre $L_n^m(x)$, definiti da
$L_n^m(x) = \frac{(-1)^m \cdot n!}{(n-m)!} e^{-x} x^{-m} \frac{d^{n-m}}{d x^{n-m}} (e^{-x} x^n)$
Equazione di Bessel
L'equazione di Bessel è un'equazione differenziale della forma
$x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0$
Si chiamano funzioni di Bessel del primo tipo le funzioni definite da
$J_{\nu}(x) = x^{\nu} \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m + \nu} \cdot m! \cdot \Gamma(\nu + m + 1)}$
dove $\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1}
e^{-t} dt$ è la Gamma di Eulero, e vale $\Gamma(n + 1) = n!$ per ogni
$n \in \mathbb{N}$. Quindi per $\nu = n \in \mathbb{N}$ le funzioni di
Bessel del primo tipo diventano
$J_{n}(x) = x^{n} \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m + n} \cdot m! \cdot (n + m)}$
e vale $J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)$, per ogni $n \in \mathbb{N}$.
Si chiamano funzioni di Bessel del secondo tipo le funzioni definite da
$Y_{\nu}(x) = \frac{J_{\nu}(x) \cos(\nu \pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu \pi)}$
e vale $Y_n(x) = \lim_{\nu \to n} Y_{\nu}(x)$.
- Se $\nu \in \mathbb{Z}$ la soluzione dell'equazione di Bessel è data da $y(x) = a J_{\nu}(x) + b J_{\nu}(x)$.
- La soluzione generale dell'equazione di Bessel è data da $y(x) = a J_{\nu}(x) + b Y_{\nu}(x)$
Equazione di Bessel modificata
L'equazione di Bessel modificata è un'equazione differenziale della forma
$x^2 y'' + x y' - (x^2 + \nu^2) y = 0$
Le soluzioni sono date dalle funzioni di Bessel modificate
$I_{\nu}(x) = i^{-\nu} J_{\nu}(ix)$
$K_{\nu} = \frac{\pi [I_{-\nu}(x) - I_{\nu}(x)]}{2 \sin(\nu \pi)}$
Equazione di Hermite
Le equazioni di Hermite sono equazioni differenziali del tipo
$y'' - 2xy' + 2ny = 0$ e $z'' - x z' + n z = 0$
Soluzioni di queste equazioni sono i polinomi di Hermite, definiti da
$y(x) = "H"_n(x) = (-1)^n e^{\frac{x^2}{2}}
\frac{d^n}{d x^n} (e^{-\frac{x^2}{2}}) = 2^{\frac{n}{2}} "He"_n(x
\sqrt{2})$ (soluzione della prima equazione)
$z(x) = "He"_n(x) = (-1)^n e^{x^2}
\frac{d^n}{dx^n} (e^{-x^2}) = 2^{-\frac{n}{2}}
"H"_n(\frac{x}{\sqrt{2}})$ (soluzione della seconda equazione)
Equazioni di Chebyshev
Le equazioni di Chebyshev sono di due tipi, quelle del primo tipo sono della forma
$(1 - x^2) y'' - 3 x y' + n (n+2) y = 0$
le cui soluzioni sono
$y(x) = U_n(x) = \frac{\sin[(n+1) "arccos"(x)]}{\sqrt{1 - x^2}}$
Le equazioni del secondo tipo hanno invece la forma
$(1 - x^2) y'' - x y' + n^2 y = 0$
e le soluzioni sono
$y(x) = T_n(x) = \cos(n \cdot "arccos"(x))$
Equazioni di Weber
Le equazioni di Weber sono equazioni differenziali del tipo
$y'' + (n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} x^2) y = 0$
Le soluzioni sono date da
$y(x) = W_n(x) = "He"_n(x) e^(-\frac{x^2}{4})$
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