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Formulario Equazioni di quarto grado
| Equazioni di quarto grado | di Gianni Sammito |
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Un'equazione di quarto grado in forma normale si scrive come
$a x^4 + b x^3 + c x^2 + dx + e = 0$
1° caso: se $e = 0$ si può raccogliere a fattor comune $x$, ottenendo $x (a x^3 + b x^2 + c x + d) = 0$, pertanto una soluzione è $x = 0$, le altre tre si trovano risolvendo l'equazione di terzo grado $a x^3 + b x^2 + cx + d = 0$. 2° caso: se $e \ne 0$ allora $x = 0$ non è soluzione dell'equazione. Operando il cambio di variabile $x = y - \frac{b}{4a}$ l'equazione diventa
$a (y - \frac{b}{4a})^4 + b (y - \frac{b}{4a})^3 + c (y - \frac{b}{4a})^2 + d (y - \frac{b}{4a}) + e = 0$
$y^4 + 2 (\frac{c}{2a} - \frac{3b^2}{16 a^2})y^2 - (\frac{bc}{2 a^2} - \frac{d}{a} - \frac{b^3}{8 a^3}) y - (\frac{3 b^4}{256 a^4} - \frac{b^2 c}{16 a^3} + \frac{db}{4 a^2} - \frac{c}{a})$
$y^4 + 2 A y^2 = By + C$
Aggiungendo $A^2$ ad ambo i membri si ottiene, alla sinistra dell'uguale, un quadrato perfetto
$(y^2 + A)^2 = By + C + A^2$
Aggiungendo ora $w^2 + 2 A w + 2 w y^2$ (con $w$ per il momento ancora da determinare) si ottiene
$(y^2 + A + w)^2 = 2 w y^2 + By + w^2 + 2 A w + A^2 + C$
Scegliamo $w$ in modo che il membro di destra sia un quadrato perfetto, per far questo basta calcolarne il discriminante rispetto a $y$ e porlo uguale a zero$
$B^2 - 8 w (w^2 + 2 A w + A^2 + C) = 0$
Questa è un'equazione di terzo grado a coefficienti reali, pertanto ammette (almeno) una soluzione reale. Sia $D$ tale soluzione (reale), allora l'equazione di quarto grado diventa
$(y^2 + A + D)^2 = 2 D (y + \frac{B}{4D})^2$
Estraendo la radice quadrata si trovano due equazioni secondo grado
$\{(y^2 + A + D = \sqrt{2D} y + \sqrt{2D} \frac{B}{4D}),(y^2 + A + D = -\sqrt{2D} y - \sqrt{2D} \frac{B}{4D}):}$
Risolvendo tali equazioni si trovano quattro valori di $y$, e ricordando che $x = y - \frac{b}{4a}$ si determinano le quattro soluzioni dell'equazione di partenza.
Scritto da , il 23-04-2010 19:43 quando scrivi "Svolgendo i calcoli si riconduce l'equazione a questa forma" il termine noto e dove va a finire????? Scritto da , il 02-11-2009 15:10 A me l'ultimo membro di C viene e/a e non c/a.In caso contrario il coefficiente 'e' scomparirebbe dall'equazione. Scritto da , il 15-01-2009 08:02 credo che ci sia un errore. nella formula pubblicata l\'ultimo membro di C è c/2... a me risulta essere e/2... vi chiedo per favore di farmi sapere se mi sto sbagliando... grazie, Marco Scrivi Commento
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