Matematicamente

La quantità $\Delta = b^2 - 4 ac$ si chiama discriminante, e a seconda del segno che assume si distinguono tre casi.

1° caso: se $\Delta > 0$ l'equazione ha due soluzioni reali distinte, che valgono $x_1 = \frac{- b - \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a}$ e $x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}$

2° caso: se $\Delta = 0$ l'equazione ha due soluzioni reali coincidenti, che valgono $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$

3° caso: se $\Delta < 0$ l'equazione ha due soluzioni complesse coniugate, che valgono $x_1 = \frac{-b - i \sqrt{4 a c - b^2}}{2a}$ e $x_2 = \frac{-b + i \sqrt{4 a c - b^2}}{2a}$

Relazioni fra i coefficienti di un'equazione e le radici

Data un'equazione di secondo grado $a x^2 + b x + c = 0$, che ha come soluzioni $x_1$ e $x_2$, fra le radici e i coefficienti $a, b, c$ sussistono le seguenti relazioni:

Somma delle radici: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}$

Differenza delle radici: $x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}$

Prodotto delle radici: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Somma dei reciproci delle radici: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = - \frac{b}{c}$

Somma dei quadati delle radici: $x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2 - 2 ac}{a^2}$

Somma dei reciproci dei quadrati delle radici: $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{b^2 - 2 a c}{c^2}$

Somma dei cubi delle radici: $x_1^3 + x_2^3 = \frac{3abc - b^3}{a^3}$

Somma dei reciproci dei cubi delle radici: $\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} = \frac{3 a b c - b^3}{c^3}$

Da queste relazioni discendono le seguenti proprietà: