Matematicamente
|
|
Ti trovi in: Home 
Formulario Equazioni di terzo grado
| Equazioni di terzo grado | di Gianni Sammito |
|
Un'equazione di terzo grado in forma normale si scrive come $c_1 x^3 + c_2 x^2 + c_3 x + c_4 = 0$. Affinché l'equazione sia effettivamente di terzo grado deve risultare $c_1 \ne 0$, dividendo quindi per tale termine si porta l'equazione nella forma
$x^3 + a x^2 + b x + c = 0$
1° caso: se $c = 0$, mettendo in evidenza $x$ l'equazione diventa $x (x^2 + ax + b) = 0$. Pertanto una soluzione è $x = 0$, le altre si trovano risolvendo l'equazione di secondo grado $x^2 + ax + b = 0$.
2° caso: se $c \ne 0$ (in tala caso $x=0$ non è soluzione), operando il cambiamento di variabile $y = x + \frac{a}{3}$, l'equazione diventa
$y^3 - a y^2 + \frac{a^2}{3} y - \frac{a^3}{27} + a y^2 + \frac{3 a^3}{27} - 2 \frac{a^2}{3} y + by - \frac{ab}{3} + c = 0$
Eseguendo le somme si arriva a
$y^3 + y(b - \frac{a^2}{3}) + \frac{2 a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c = 0$
Posto $p = b - \frac{a^2}{3}$ e $q = \frac{2a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c$, l'equazione diventa
$y^3 + p y + q = 0$
Operando il cambiamento di variabile $y = z - \frac{p}{3z}$, l'equazione si riscrive come
$z^3 - p z + \frac{p^2}{3z} - \frac{p^3}{27 z^3} + p z - \frac{p^2}{3z} + q = 0$
Eseguendo le somme e moltiplicando ambo i membri per $z^3$ si arriva a
$z^6 + q z^3 - \frac{p^3}{27} = 0$
Ponendo $t = z^3$, si trova un'equazione di secondo grado
$t^2 + q t - \frac{p^3}{27} = 0$
le cui soluzioni sono
$t = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}$
e ricordando la sostituzione $t = z^3$
$z = \root{3}{-\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$
Ricordando le altre sostituzioni effettuate si arriva alle soluzioni dell'equazione di terzo grado iniziale.
Scritto da , il 26-06-2010 00:50 X ele Invece conosci il valore di "a". Il suo valore è "0" (zero). Scritto da , il 22-05-2010 17:56 e se io non ho neanche a? come faccio a operare la sostituzione? per esempio per risolvere la disequazione (o l\'equazione associata) 4x^3-4x+1>0? questa disequazione mi sta facendo impazzire!! grazie mille!:) Scrivi Commento
Powered by AkoComment Tweaked Special Edition v.1.4.6 |
||||||
| < Prec. | Pros. > |
|---|
|
Iniziative editoriali
|
Test - quiz - simulazione |
Gioca con la matematica |
 |
|
|
|
|