Equazioni differenziali ordinarie (EDO) | \Frac, Equazione, \Sin, \Cos

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Equazioni differenziali ordinarie (EDO)

di Gianni Sammito

EDO lineare del I ordine a coefficienti variabili

Un'EDO lineare del I ordine a coefficienti variabili si scrive come

$y' = \alpha(x) y + \beta(x)$

Detta $A(x)$ una primitiva di $\alpha(x)$, l'integrale generale dell'equazione è

$y(x) = e^{A(x)} [C + \int_{x_0}^{x} e^{- A(s)} \beta(s) ds]$

dove $C$ è una costante arbitraria reale.

Esempio: determinare l'integrale generale dell'equazione $y' = \cos(x) y + x e^{\sin(x)}$. Risulta $\int \cos(x) dx = \sin(x) + c$, quindi una generica primitiva di $\cos(x)$ è $A(x) = \sin(x)$. Inoltre $\int e^{-\sin(x)} \cdot x \cdot e^{\sin(x)} dx = \int x dx = \frac{x^2}{2} + c$, quindi l'integrale generale dell'equazione differenziale è

$y(x) = e^{\sin(x)} [c + \frac{x^2}{2}]$

EDO lineare omogenea del II ordine a coefficienti costanti (reali)

Un'EDO lineare omogenea del II ordine a coefficienti costanti (reali) si scrive come

$y'' + b y' + c y = 0$, con $b, c \in \mathbb{R}$

- se $b^2 - 4c > 0$, e se $\lambda_1, \lambda_2$ sono le soluzioni (reali) dell'equazione $\lambda^2 + b \lambda + c = 0$, allora l'integrale generale dell'equazione differenziale è

$y(x) = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x}$, $c_1$ e $c_2$ costanti arbitrarie

- se $b^2 - 4c = 0$, e se $\lambda^{**}$ è la soluzione (doppia) di $\lambda^2 + b \lambda + c = 0$, allora l'integrale generale dell'equazione differenziale è

$y(x) = c_1 e^{\lambda^{**} x} + c_2 x e^{\lambda^{**}}$, $c_1$ e $c_2$ costanti arbitrarie

- se $b^2 - 4 c < 0$, e se $\lambda_1 = \alpha + i \beta$ e $\lambda_2 = \alpha - i \beta$ sono le due soluzioni complesse coniugate di $\lambda^2 + b \lambda + c = 0$, allora l'integrale generale dell'equazione differenziale è

$y(x) = c_1 e^{\alpha x} \cos(\beta x) + c_2 e^{\alpha x} \sin(\beta x)$, $c_1$ e $c_2$ costanti arbitrarie

Esempi

Deteminare l'integrale generale dell'equazione $y'' - 3y' + 2 = 0$. L'equazione $\lambda^2 - 3 \lambda + 2 = 0$ ha come soluzioni $\lambda_1 = 1$ e $\lambda_2 = 2$, pertanto l'integrale generale è

$y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x}$

Determinare l'integrale generale dell'equazione $y'' + 3y' + \frac{9}{4}y = 0$. L'equazione $\lambda^2 + 3 \lambda + \frac{9}{4} = 0$ ha come soluzione (doppia) $\lambda^{**} = -\frac{3}{2}$, quindi l'integrale generale è

$y(x) = c_1 e^{-\frac{3}{2} x} + c_2 x e^{-\frac{3}{2} x}$

Determinare l'integrale generale dell'equazione $y'' + 2 y' + 8y = 0$. L'equazione $\lambda^2 + 2 \lambda + 8 = 0$ ha come soluzioni $\lambda_1 = -1 + i \sqrt{7}$ e $\lambda_2 = -1 - i \sqrt{7}$, quindi l'integrale generale è

$y(x) = c_1 e^{-x} \cos(\sqrt{7} x) + c_2 e^{-x} \sin(\sqrt{7} x)$

EDO lineare omogenea di ordine $n$ a coefficienti costanti (reali)

Un'EDO lineare omogenea di ordine $n$ a coefficienti costanti (reali) si scrive come

$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = 0$, $a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ e $a_n \ne 0$

Il polinomio caratteristico associato all'equazione è $p(\lambda) = a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \ldots + a_1 \lambda + a_0 = 0$. Il polinomio ha $n$ radici complesse, ognuna contata con la propria molteplicità. Alle $n$ radici sono associate $n$ funzioni linearmente indipendenti che risolvono l'equazione differenziale.

- se $\lambda_i$ è una radice reale con molteplicità $1$, la corrispondente funzione che risolve l'EDO è $y_i(x) = e^{\lambda_i x}$

- se $\lambda_i = \alpha + i \beta$ è una radice complessa, con molteplicità $1$, allora anche $\bar{\lambda_i} = \alpha - i \beta$ è una radice complessa con molteplicità $1$, e le due funzioni relative a tali radici sono $y_{i1}(x) = e^{\alpha x} \cos(\beta x)$ e $y_{i2}(x) = e^{\alpha x} \sin(\beta x)$

- se $\lambda_i$ è una radice reale con molteplicità $k$, allora le $k$ funzioni associate che risolvono l'EDO sono

$y_{i1} = e^{\lambda_i x} \qquad y_{i2} = x e^{\lambda_i x} \qquad \ldots \qquad y_{ik}(x) = x^{k-1} e^{\lambda_i x}$

- se $\lambda_i = \alpha + i \beta$ è una radice complessa con molteplicità $k$, allora anche $\bar{\lambda_i} = \alpha - i \beta$ è una radice complessa con molteplicità $k$, e le $2k$ funzioni associate a tali radici sono

$y_{11}(x) = e^{\alpha x} \cos(\beta x), y_{12}(x) = e^{\alpha x} \sin(\beta x)$

$y_{21}(x) = x e^{\alpha x} \cos(\beta x), y_{22}(x) = x e^{\alpha x} \sin(\beta x)$

$\vdots$

$y_{k1}(x) = x^{k-1} e^{\alpha x} \cos(\beta x), y_{k2}(x) = x^{k-1} e^{\alpha x} \sin(\beta x)$

Con questa casistica si riescono a trovare $n$ soluzioni linearmente indipendenti dell'omogenea, $y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x)$; l'integrale generale è una combinazione lineare di queste funzioni

$y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) + \ldots + c_n y_n(x)$, $c_1, c_2, \ldots, c_n \in \mathbb{R}$

Esempio: determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale $y''' - y'' + 4 y' - 4 = 0$. Il polinomio caratteristico è

$p(\lambda) = \lambda^3 - \lambda^2 + 4 \lambda - 4 = (\lambda - 1) (\lambda^2 + 4)$

Le radici del polinomio caratteristico sono $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2 i$, $\lambda_3 = - 2 i$, e le funzioni associate che risolvono l'omogenea sono

$y_1(x) = e^x \qquad y_2(x) = \cos(2x) \qquad y_3(x) = \sin(2x)$

quindi l'integrale generale cercato è

$y_{"om"}(x) = c_1 e^x + c_2 \cos(2x) + c_3 \sin(2x)$, $c_1, c_2, c_3$ costanti arbitrarie

EDO lineare completa di ordine $n$ a coefficienti costanti (reali)

Un'EDO lineare completa di ordine $n$ a coefficienti costanti (reali) si scrive come

$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = f(x)$, $a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ e $a_n \ne 0$

Se $y_{"om"}(x)$ è l'integrale generale dell'omogenea associata, e $y_{"p"}$ è una soluzione della completa, allora l'integrale generale della completa è

$y(x) = y_{"om"}(x) + y_{"p"}(x)$

Metodo della variazione delle costanti

Questo metodo serve a trovare una soluzione particolare di una EDO lineare completa di ordine $n$ a coefficienti costanti. Se $y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x)$ (definite su un intervallo $I \subseteq \mathbb{R}$) sono $n$ soluzioni linearmente indipendenti dell'omogenea, si consideri la matrice

$W(x) = [(y_1(x), \quad y_2(x), \quad \ldots, \quad y_n(x)),(y_1'(x), \quad y_2'(x), \quad \ldots, \quad y_n'(x)),(\vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots),(y_1^{(n-1)}(x), \quad y_2^{(n-1)}(x), \quad \ldots, \quad y_n^{(n-1)}(x))]$

e il vettore

$F(x) = ((0),(0),(\vdots),(0),(f(x)))$

Poniamo

$C'(x) = ((c_1'(x)),(c_2'(x)),(\vdots),(c_n'(x))) = W^{-1}(x) F(x)$

Fissato $x_0 \in I$, e posto $c_i(x) = \int_{x_0}^x c_i'(x) dx$, per $i = 1, 2, \ldots, n$, una soluzione particolare della completa è

$y_{"p"}(x) = c_1(x) y_1(x) + c_2(x) y_2(x) + \ldots + c_n(x) y_n(x)$

e l'integrale generale della completa è

$y(x) = (c_1(x) + k_1) y_1(x) + (c_2(x) + k_2) y_2(x) + \ldots + (c_n(x) + k_n) y_n(x)$, con $k_1, k_2, \ldots, k_n$ costanti arbitrarie

Esempio: risolvere l'equazione differenziale $y'' + y = \frac{1}{\sin(x)}$. L'equazione omogenea è $y'' + y = 0$, il polinomio caratteristico è $p(\lambda) = \lambda^2 + 1 = 0$, le cui radici sono $\lambda_{1,2} = \pm i$. Le funzioni associate a tali radici sono $y_1(x) = \cos(x)$ e $y_2(x) = \sin(x)$, e l'integrale generale dell'omogenea è $y_{"om"}(x) = k_1 \cos(x) + k_2 \sin(x)$.

$y_1(x) = \cos(x) \qquad y_1'(x) = -\sin(x)$

$y_2(x) = \sin(x) \qquad y_2'(x) = \cos(x)$

La matrice $W$ e il vettore $F$ risultano pari a

$W(x) = [(\cos(x), \quad \sin(x)),(-\sin(x), \quad \cos(x))] \qquad F(x) = ((0),(\frac{1}{\sin(x)}))$

L'inversa della matrice $W$ è

$W^{-1}(x) = 1 \cdot [(\cos(x), \quad -\sin(x)),(\sin(x), \quad \cos(x))]$

quindi

$W^{-1}(x) F(x) = [(\cos(x), \quad \sin(x)),(-\sin(x), \quad \cos(x))] ((0),(\frac{1}{\sin(x)})) = ((-1),("cotg"(x)))$

$c_1'(x) = -1$, $c_1(x)= \int_{x_0}^x (-1) dx = x_0 - x$

$c_2'(x) = "cotg"(x)$, $c_2(x) = \int_{x_0}^x "cotg"(x) dx = \ln(|\sin(x)|) - \ln(|\sin(x_0)|)$

Quindi una soluzione particolare della completa è

$y_{"p"}(x) = c_1(x) y_1(x) + c_2(x) y_2(x) \implies y_{"p"}(x) = (x_0 - x) \cos(x) + (\ln(|\sin(x)|) - \ln(|\sin(x_0)|)) \sin(x)$

e l'integrale generale della completa è

$y(x) = y_{"om"}(x) + y_{"p"}(x) \implies y(x) = k_1 \cos(x) + k_2 \sin(x) + (x_0 - x) \cos(x) + (\ln(|\sin(x)|) - \ln(|\sin(x_0)|)) \sin(x)$ ($x \in (0, \pi)$ per l'esistenza del logaritmo)

che equivale a

$y(x) = k_1 \cos(x) + k_2 \sin(x) - x \cos(x) + \ln(|\sin(x)|) \sin(x)$

data l'arbitrarietà delle costanti $k_1$ e $k_2$.

Equazione differenziale a variabili separabili

Un'equazione differenziale a variabili separabili è un'equazione differenziale del I ordine del tipo

$y' = g(x) h(y)$

Le soluzioni si determinano studiando questi due casi:

- tutte le funzioni costanti $y \equiv y_0$, tali che $h(y_0) = 0$, sono soluzioni dell'equazione differenziale

- se $H(y)$ è una primitiva di $\frac{1}{h(y)}$ e $G(x)$ è una primitiva di $g(x)$, le funzioni definite implicitamente da $H(y) = G(x) + C$, al variare di $C \in \mathbb{R}$, sono soluzioni dell'equazione differenziale. In particolare, se $H$ è iniettiva tali funzioni si scrivono come $y(x) = H^{-1}(G(x) + C)$.

Esempio: risolvere l'equazione $y' = x y^2$. Dato che $y^2 = 0 \implies y = 0$, allora la funzione costante $y \equiv 0$ è soluzione dell'equazione differenziale. Dividendo per $y^2$ si ottiene $\frac{y'}{y^2} = x$, e integrando ambo i membri $\int \frac{y'}{y^2} dx = - \frac{1}{y} + c_1$, $\int x dx = \frac{x^2}{2} + c_2$. Da $-\frac{1}{y} + c_1 = \frac{x^2}{2} + c_2$ segue

$y(x) = \frac{1}{\frac{x^2}{2} + c}$

(dove si è posto $c = c_2 - c_1$) e, assieme alla soluzione costante $y \equiv 0$, rappresenta la soluzione dell'equazione differenziale.

Equazioni riconducibili a variabili separabili

1° caso

$y' = f(ax + by)$, $a, b \ne 0$

Sostituzione $z(x) = a x + b y(x)$, da cui $z'(x) = a + b y'(x)$, ottenendo

$z' = a + b f(z)$

che è a variabili separbili con $g(x) = 1$, $h(z) = a + b f(z)$.

Esempio: risolvere l'equazione differenziale $y' = (x + y)^2 - (x + y) - 1$. Ponendo $z = x + y$, e osservando che $z' = 1 + y'$, si ottiene

$z' = 1 + y' \implies z' = 1 + (x+y)^2 - (x + y) - 1 \implies $z' = z^2 - z$

Questa è un'equazione a variabili separabili, le cui soluzioni costanti sono $z \equiv 0$, da cui segue $y = -x$, e $z \equiv 1$ da cui segue $y = 1 - x$. Per trovare le altre soluzioni, si divide ambo i membri per $z^2 - z$, ottenendo

$\frac{z'}{z^2 - z} = 1$

Integrando ambo i membri si trova

$\ln(|1 - \frac{1}{z}|) = x + c \implies |1 - \frac{1}{z}| = e^c \cdot e^x = k \cdot e^x$, con $c \in \mathbb{R}$ e $k \in \mathbb{R}^+$

Togliendo il valore assoluto (visto che $k e^x \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$) e risolvendo rispetto a $z$ si trova $z(x) = \frac{1}{1 - k e^x}$ da cui

$y(x) = \frac{1}{1 - k e^x} - x$

2° caso

$y' = f(\frac{y}{x})$

Sostituzione $z(x) = \frac{y(x)}{x}$, da cui $x \cdot z(x) = y(x)$ e $z + x z' = y'$, ottenendo

$z' = \frac{1}{x} (f(z) - z)$

che è a variabili separabili con $g(x) = \frac{1}{x}$ e $h(z) = f(z) - z$.

Esempio: risolvere dell'equazione $y' = \frac{4y}{3x} - \frac{8 x^2}{3 y^2}$. Ponendo $z = \frac{y}{x}$, da cui $y = x \cdot z$ e $y' = z + x \cdot z'$, si ottiene

$y' = z' x + z \implies z' x = y' -z \implies z' x = \frac{4}{3} z - \frac{8}{3} z^{-2} - z = \frac{z^3 - 8}{3 z^2}$

da cui

$\frac{3 z^2}{z^3 - 8} z' = \frac{1}{x}$

L'unica soluzione costante è $z \equiv 2$, a cui corrisponde $y(x) = 2x$. Integrando ambo i membri si ottiene

$\int \frac{1}{x} dx = \ln(|x|) + c_1$,$c_1 \in \mathbb{R}$

$\int \frac{3 z^2}{z^3 - 8} z' dx = \ln(|z^3 - 8|) + c_2$, $c_2 \in \mathbb{R}$

Posto $c = c_1 - c_2$, uguagliando i risultati, e ricordando che $z = \frac{y}{x}$, si ottiene

$\ln(|\frac{y^3(x)}{x^3} - 8|) = \ln(|x|) + c$

da cui

$|\frac{y^3(x)}{x^3} - 8| = e^{\ln(|x|)} \cdot e^c \implies \frac{y^3(x)}{x^3} - 8 = k \cdot |x| \implies y(x) = x \root{3}{k |x| + 8}$

dove si è posto, per comodità, $k = e^c$.

3° caso

$y' = f(\frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2})$, con $a_1 b_2 \ne a_2 b_1$

Detta $(x_0, y_0)$ la soluzione del sistema

$\{(a_1 x + b_1 y + c_1 = 0),(a_2 x + b_2 y + c_2 = 0):}$

si opera la sostituzione $x = u + x_0$, $y = v + y_0$, da cui $\frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2} = \frac{a_1 u + b_1 v}{a_2 u + b_2 v} = \frac{a_1 + b_1 \frac{v}{u}}{a_2 + b_2 \frac{v}{u}}$, ottenendo

$v' = f(\frac{a_1 + b_1 \frac{v}{u}}{a_2 + b_2 \frac{v}{u}})$

che diventa a variabili separabili con la sostituzione $z(u) = \frac{v(u)}{u}$, come nel caso precedente.

Esempio: risolvere $y' = \frac{y - x - 2}{y + x}$. Le rette di equazione $y - x - 2 = 0$ e $y + x = 0$ si intersecano nel punto $(x,y) = (-1,1)$, quindi conviene fare la trasformazione

$\{(u = x + 1),(v = y - 1):} \implies \{(x = u - 1),(y = v + 1):}$

$v(u) = y(x) - 1 \implies v(u) = y(u - 1) - 1$, derivando si ottiene $y' = v'$, da cui

$v' = \frac{v + 1 - u + 1 - 2}{v + 1 + u - 1} \implies v' = \frac{v - u}{v + u} \implies v = \frac{\frac{v}{u} - 1}{\frac{v}{u} + 1}$

Ponendo $z(u) = \frac{v(u)}{u}$, da cui $v(u) = u \cdot z(u) \implies v' = z' + u z$, si ottiene

$z' u = v' - z \implies z' u = \frac{z-1}{z+1} - z \implies z' u = \frac{-z^2 - 1}{z+1} \implies \frac{z+1}{z^2 + 1} z' = -\frac{1}{u}$

Integrando ambo i membri si trova

$\frac{1}{2} \ln(z^2 + 1) + "arctg"(z) = - \ln(|u|) + c$, $c$ costante arbitraria

e ricordando le sostituzioni $z = \frac{v}{u} = \frac{y-1}{x+1}$ si arriva a

$\frac{1}{2} \ln((\frac{y-1}{x+1})^2 + 1) + "arctg"(\frac{y-1}{x+1}) = - \ln(|x+1|) + c$, $c$ costante arbitraria

Tutte le funzioni $y = y(x)$ definite implicitamente dalla relazione precedente soddisfano l'equazione differenziale.

Equazione di Bernoulli

Un'equazione di Bernoulli è un'equazione differenziale del tipo

$y' = \alpha(x) y + \beta(x) y^s$, con $s \ne 0$ e $s \ne 1$

Sostituzione $z(x) = y^{1-s}(x)$, da cui e $z'(x) = (1 - s) y^{-s}(x) y'(x)$, ottenendo così

$z'(x) = (1 - s) y^{-s}(x) [\alpha(x) y + \beta(x) y^s(x)] \implies z' = (1 - s) \alpha(x) z + (1 - s) \beta(x)$

che è un'EDO lineare del I ordine a coefficienti variabili.

Esempio: risolvere l'equazione differenziale $y' = 2 "tg"(x) y + 2 \sqrt{y}$, con $y \ge 0$ e $x \ne \frac{\pi}{2} + k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Ponendo $z = y^{1 - \frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{y}$ si ottiene $z' = \frac{1}{2 \sqrt{y}} y'$ e l'equazione diventa

$z' = \frac{1}{2 \sqrt{y}} [2 "tg"(x) y + 2 \sqrt{y}] \implies z' = "tg"(x) \sqrt{y} + 1 \implies z' = "tg"(x) z + 1$

Questa è una EDO del I ordine, con $\alpha(x) = "tg"(x)$, $\beta(x) = 1$. Integrandola con la formula generaleper le EDO lineari del I ordine si trova

$z(x) = \frac{c}{|\cos(x)|} + "tg"(x)$

e ricordando che $y(x) = z^2(x)$ si ottiene

$y(x) = (\frac{C}{|\cos(x)|} + "tg"(x))^2$

Leggi l'articolo e i commenti (2)

Scritto da Michael, il 29-06-2009 14:52

mi correggo, la soluzione prende in considerazione -1 come primo elemento di C'(x) ma dovrebbe essere 1 inquanto il prodotto tra l'elemento (1,2) della W inversa (che è un sin(x) e non un sin(x)) e l'elemento (2,1) della matrice F(x) che è 1/sin(x) deve dare 1. Spero di essere stato chiaro e scusatemi se sono in errore :-)

Scritto da Michael, il 29-06-2009 14:46

Salve a tutti, grazie ancora per queste spiegazioni, invito a controllare la W inversa perchè mi pare che i segni dei sen(x) debbano essere invertiti (la matrice dei cofattori trasposta in questo caso risulta identica alla matrice di base). Penso sia solo un errore di stampa perchè la soluzione poi continua portando il segno giusto e avendo quindi come primo elemento della matrice C\\\\\\\'(x) il valore -1 (che in realtà per come è stata scritta la W inversa sarebbe dovuto essere 1) GRAZIE ANCORA

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