Matematicamente

Equazioni esponenziali 

Equazioni logaritmiche

Dato $a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ e $b \in \mathbb{R}$, un'equazione logaritmica elementare è un'equazione della forma

 
ed ha una ed una sola soluzione che, per definizione di logaritmo, vale $x = a^b$. Se un'equazione logaritmica si presenta nella forma

 
dove i logaritmi hanno la stessa base, per determinare la soluzione è sufficiente risolvere il sistema

 
Nei casi in cui l'equazione non si presenti in una di queste forme, è possibile usare dei metodi illustrati negli esempi seguenti.

Esempi:

1) $\log_{5}(3x - 2) = 6 \implies 3x - 2 = 5^6 \implies 3x = 5^6 - 2 \implies x = \frac{5^6 - 2}{3}$

2) $\log_{4}(x-1) + \log_{4}(x-3) = 2$

Per l'esistenza dei logaritmi deve essere verificato il sistema

 
che ha come soluzione $x > 3$. Applicando le proprietà dei logaritmi l'equazione logaritmica si scrive come

$\log_{4}((x-1)(x-3)) = 2 \implies (x-1)(x-3) = 4^2 \implies x^2 -4x + 3 = 16 \implies x^2 - 4x - 13 = 0$

che ha come soluzioni $x_1 = 2 - \sqrt{17}$ e $x_2 = 2 + \sqrt{17}$. Ma solo $x_2$ risulta essere maggiore di $3$, quindi l'unica soluzione dell'equazione logaritmica è $x = 2 + \sqrt{17}$.

3) $(\log_{2}(x))^2 - \log_{2}(x) - 2 = 0$

Per l'esistenza dei logaritmi deve risultare $x>0$. Posto $t = \log_{2}(x)$, si ottiene l'equazione di secondo grado $t^2 - t -2 = 0$ che ha come soluzioni $t_1 = -1$ e $t_2 = 2$. Ricordando la sostituzione fatta si ottengono le due soluzioni (che non violano la condizione di esistenza del logaritmo, essendo entrambe positive)