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Formulario Esponenziale di una matrice
| Esponenziale di una matrice | di Gianni Sammito |
Definizione
Data una matrice $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, l'esponenziale di $A$ è definita mediante questo sviluppo in serie
$e^{A} = I + A + \frac{A^2}{2} + \frac{A^3}{3!} + \ldots + \frac{A^n}{n!} + \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{A^k}{k!}$
dove $A^0 = I$ indica la matrice identità.
Esponenziale di una matrice diagonalizzabile
Se $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ è una matrice diagonalizzabile, il calcolo dell'esponenziale $e^A$ può essere effettuato senza bisogno di ricorrere alla definizione. Detta $T$ la matrice del cambio di coordinate, risulta
$e^A = T e^{\Lambda} T^{-1}$
dove $\Lambda$ è una matrice in forma diagonale se tutti gli autovalori di $A$ sono reali, mentre è in forma diagonale reali a blocchi se $A$ ammette autovalori complessi.
Nel caso di matrici diagonalizzabili dunque è sufficiente calcolare, oltre alla matrice del cambio di coordinate, l'esponenziale p della matrice diagonalizzata, e tale calcolo è relativamente semplice.
Per calcolare $e^{\Lambda}$ si distinguono i casi in cui $\Lambda$ è una matrice in forma diagonale da quello in cui $\Lambda$ è in forma diagonale reale a blocchi.
$A$ ha tutti gli autovalori reali
Se la matrice $A$ ha tutti gli autovalori reali, e questi sono pari a $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_n$, ed inoltre se $T$ è la matrice del cambio di coordinate, allora
$A = T \Lambda T^{-1}$
dove
$\Lambda = ((\lambda_{1}, \quad 0, \ldots, 0),(0, \lambda_{2}, \quad \ldots, 0),(\vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots),(0, \quad 0, \quad \ldots, \quad \lambda_n))$
L'esponenziale di $\Lambda$ è banalmente la matrice ottenuta calcolando gli esponenziali degli elementi sulla diagonale principale
$e^{\Lambda} = ((e^{\lambda_{1}}, \quad 0, \ldots, 0),(0,
e^{\lambda_{2}}, \quad \ldots, 0),(\vdots, \quad \vdots, \quad \ddots,
\quad \vdots),(0, \quad 0, \quad \ldots, \quad e^{\lambda_n}))$
Pertanto, in questo caso, l'esponenziale di $A$ vale
$e^A = T e^{\Lambda} T^{-1}$
$A$ ha almeno un autovalore complesso
Supponiamo ora che $A$ abbia autovalori complessi, e che i suoi autovalori siano $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{r}, \lambda_{r+1}, \bar{\lambda_{r+1}}, \lambda_{r+2}, \bar{\lambda_{r+2}}, \ldots, \lambda_{c}, \bar{\lambda_{c}}$, dove i primi $r$ sono reali, i restanti sono complessi. Scriviamo ogni autovalore complesso con parte immaginaria positiva come
$\lambda_i = \sigma_i + i \omega_i$
Se $T$ è la matrice del cambio di coordinate, allora $A = T \Lambda T^{-1}$, dove $\Lambda$ è una matrice in forma diagonale reale a blocchi, della forma
$\Lambda = [(\lambda_1, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 0),(0, \quad \lambda_2, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 0),(\vdots, \quad 0, \quad \ddots, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad 0, \quad \lambda_{r}, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad 0, \quad \sigma_{r+1}, \quad \omega_{r+1}, \quad 0, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad -\omega_{r+1}, \quad \sigma_{r+1}, \quad 0, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad 0, \quad \ddots, \quad 0, \quad 0),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots, \quad \sigma_c, \quad \omega_c),(0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 0, \quad -\omega_c, \quad \sigma_c)]$
Ricordando che per ogni autovalore complesso $\lambda_i$ (con parte immaginaria positiva) $\sigma_i$ indica la sua parte reale e $\omega_i$ ($>0$) indica la sua parte immaginaria, l'esponenziale di $\Lambda$ vale
$e^{\Lambda} = [(e^{\lambda_1}, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 0),(0, \quad e^{\lambda_2}, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 0),(\vdots, \quad 0, \quad \ddots, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad 0, \quad e^{\lambda_{r}}, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad 0, \quad e^{\sigma_{r+1}} \cos(\omega_{r+1}), \quad e^{\sigma_{r+1}} \sin(\omega_{r+1}), \quad 0, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad -e^{\sigma_{r+1}} \sin(\omega_{r+1}), \quad e^{\sigma_{r+1}} \cos(\omega_{r+1}), \quad 0, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad 0, \quad \ddots, \quad 0, \quad 0),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots, \quad e^{\sigma_{c}} \cos(\omega_{c}), \quad e^{\sigma_{c}} \sin(\omega_{c})),(0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 0, \quad -e^{\sigma_{c}} \sin(\omega_{c}), \quad e^{\sigma_{c}} \cos(\omega_{c}))]$
Una volta calcolata $e^{\Lambda}$ è possibile calcolare anche l'esponenziale di $A$, dato che
$e^A = T e^{\Lambda} T^{-1}$
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