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Funzioni goniometriche di Gianni Sammito   
Si consideri una circonferenza di raggio $R$ centrata in $O = (0,0)$, e sia $P$ un generico punto sulla circonferenza.
circonferenza_goniometrica.png
Comunque si fissi $x \in \mathbb{R}$, si scelga $P$ in modo che la misura (in radianti) dell'angolo $P \hat{O} A$ sia proprio $x$. Dette $P = (x_0, y_0)$ le coordinate del punto $P$, si definiscono le funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante) come segue
 
$\sin(x) = \frac{y_0}{R} \qquad \cos(x) = \frac{x_0}{R} \qquad "tg"(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \qquad "cotg"(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \qquad "sec"(x) = \frac{1}{\cos(x)} \qquad "cosec"(x) = \frac{1}{\sin(x)}$
 

Relazione fondamentale della goniometria

 

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$  
 

Conversione fra radianti e gradi

Se $x$ è la misura in radianti di un angolo, e $x^{\circ}$ è la rispettiva misura in gradi, si ha che

$x = \frac{\pi}{180^{\circ}} x^{\circ} \qquad x^{\circ} = \frac{180^{\circ}}{\pi} x$

 

Archi notevoli

$x$ (radianti)
$x^{\circ}$ (gradi)
$\sin(x)$
$\cos(x)$
$"tg"(x)$
$"cotg"(x)$
$0$ $0^{\circ}$
 $0$
  $1$ $0$  non esiste
$\frac{\pi}{12}$
 $15^{\circ}$  $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
$2 - \sqrt{3}$
$2 + \sqrt{3}$
$\frac{\pi}{10}$
 $18^{\circ}$
 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$
 $\frac{1}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}$
 $\sqrt{\frac{5 - 2 \sqrt{5}}{5}}$
 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}$
 $\frac{\pi}{8}$ $22^{\circ} 30'$
$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$
$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$
$\sqrt{2} - 1$
$\sqrt{2} + 1$
$\frac{\pi}{6}$
 $30^{\circ}$
 $\frac{1}{2}$
 $\frac{\sqrt{3}}{2}$
 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
 $\sqrt{3}$
$\frac{\pi}{5}$
 $36^{\circ}$
 $\frac{1}{4} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}$
 $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$
 $\sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}$
 $\sqrt{\frac{5 + 2 \sqrt{5}}{5}}$
$\frac{\pi}{4}$
 $45^{\circ}$
 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $1$
 $1$
$\frac{3 \pi}{10}$
 $54^{\circ}$
 $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$
 $\frac{1}{4} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}$
 $\sqrt{\frac{5 + 2 \sqrt{5}}{5}}$
 $\sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}$
$\frac{\pi}{3}$
 $60^{\circ}$
 $\frac{\sqrt{3}}{2}$
 $\frac{1}{2}$
 $\sqrt{3}$
 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
 $\frac{3 \pi}{8}$ $67^{\circ} 30'$
 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$
$\sqrt{2} + 1$
$\sqrt{2} - 1$
$\frac{2 \pi}{5}$
 $72^{\circ}$
 $\frac{1}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}$
 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$
 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}$
 $\sqrt{\frac{5 - 2 \sqrt{5}}{5}}$
 $\frac{5 \pi}{12}$ $75^{\circ}$
$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$  $2 + \sqrt{3}$
 $2 - \sqrt{3}$
$\frac{\pi}{2}$
 $90^{\circ}$
  $1$ $0$
 non esiste
 $0$
 

Archi associati

Si possono ricavare i valori di seno, coseno, e delle altre funzioni goniometriche relativamente ad altri angoli notevoli mediante le formule seguenti

$\cos(\pi + x) = - \cos(x)$
 $\sin(\pi + x) = - \sin(x)$  $"tg"(\pi + x) = "tg"(x)$ 
$\cos(\pi - x) = - \cos(x)$
 $\sin(\pi - x) = \sin(x)$  $"tg"(\pi - x) = - "tg"(x)$ 
$\cos(\frac{\pi}{2} + x) = - \sin(x)$
 $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x)$  $"tg"(\frac{\pi}{2} + x) = - "cotg"(x)$ 
$\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$
 $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$  $"tg"(\frac{\pi}{2} - x) = "cotg"(x)$ 
$\cos(-x) = \cos(x)$  $\sin(-x) = - \sin(x)$  $"tg"(-x) = - "tg"(x)$ 

Relazioni fra funzioni goniometriche di uno stesso arco

 

$\cos^2(x) = \frac{1}{1 + "tg"^2(x)} \qquad \sin^2(x) = \frac{"tg"^2(x)}{1 + "tg"^2(x)}$
 

Formule di addizione e di sottrazione 

 

$\cos(x - y) = \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$
 
$\cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y)$
 
$\sin(x - y) = \sin(X) \cos(y) - \sin(y) \cos(x)$
 
$\sin(x + y) = \sin(x) \cos(y) + \sin(y) \cos(x)$
 
$"tg"(x + y) = \frac{"tg"(x) + "tg"(y)}{1 - "tg"(x) "tg"(y)}$
 
$"tg"(x - y) = \frac{"tg"(x) - "tg"(y)}{1 + "tg"(x) "tg"(y)}$
 
$"cotg"(x + y) = \frac{"cotg"(x) "cotg"(y) - 1}{"cotg"(x) + "cotg"(y)}$
 
$"cotg"(x - y) = \frac{"cotg"(x) "cotg"(y) + 1}{"cotg"(y) - "cotg"(x)}$
 

Formule di duplicazione

 

$\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \qquad \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2 \cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \sin^2(x)$
 
$"tg"(2x) = \frac{2 "tg"(x)}{1 - "tg"^2(x)} \qquad "cotg"(2x) = \frac{"cotg"^2(x) - 1}{2 "cotg"(x)}$
 

Formule di triplicazione

 

$\sin(3 x) = 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) \qquad \cos(3x) = 4 \cos^3(x) - 3 \cos(x) \qquad "tg"(3x) = \frac{3 "tg"(x) - "tg"^3(x)}{1 - 3 "tg"^2(x)}$
 

Formule di prostaferesi

 

$\sin(p) + \sin(q) = 2 \sin(\frac{p+q}{2}) \cos(\frac{p-q}{2})$
 
$\sin(p) - \sin(q) = 2 \sin(\frac{p-q}{2}) \cos(\frac{p+q}{2})$
 
$\cos(p) + \cos(q) = 2 \cos(\frac{p+q}{2}) \cos(\frac{p-q}{2})$
 
$\cos(p) - \cos(q) = -2 \sin(\frac{p+q}{2}) \sin(\frac{p-q}{2})$
 

Formule di Werner

 

$\sin(x) \cos(y) = \frac{1}{2} [\sin(x - y) + \sin(x + y)]$
 
$\sin(x) \sin(y) = \frac{1}{2} [\cos(x - y) - \cos(x + y)]$
 
$\cos(x) \cos(y) = \frac{1}{2} [\cos(x - y) + \cos(x + y)]$ 
 

Formule di bisezione

 

$\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \qquad \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$
 
$"tg"(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)} = \frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$
 
$"cotg"(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{\sin(2x)} = \frac{\sin(2x)}{1 - \cos(2x)}$
 

Formule parametriche

Formule parametriche 

 

$\sin(x) = \frac{2 "tg"(\frac{x}{2})}{1 + "tg"^2(\frac{x}{2})} \qquad \cos(x) = \frac{1 - "tg"^2(\frac{x}{2})}{1 + "tg"^2(\frac{x}{2})}$
 
$"tg"(x) = \frac{2 "tg"(\frac{x}{2})}{1 - "tg"^2(\frac{x}{2})} \qquad "cotg"(x) = \frac{1 - "tg"^2(\frac{x}{2})}{2 "tg"(\frac{x}{2})}$ 

 

 




Leggi l'articolo e i commenti (4)
Scritto da marco, il 15-02-2011 11:10
molto molto interessante ma non si puo scaricare? grazie e bravi
Scritto da jose eintein, il 13-05-2009 15:03
grazie a questo sito sto cominciando a capire meglio l\'analisi matematica grazie a tutti siete grandi
Scritto da anna, il 26-04-2009 20:28
DAVVERO INTERESSANTE!
Scritto da raimondo, il 06-04-2009 20:34
mi occorerebbe la formula 
per scrivere 
sen(x^2)in modo più semplice 
per risolverne l\'integrale

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