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Formulario Funzioni iperboliche
| Funzioni iperboliche | di Gianni Sammito |
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Le funzioni iperboliche (seno iperbolico, coseno iperbolico, tangente iperbolica, cotangente iperbolica, secante iperbolica, cosecante iperbolica) sono definite nel modo seguente
$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \qquad \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
$"tgh"(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \qquad "cotgh"(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}$
$"sech"(x) = \frac{1}{\cosh(x)} \qquad "cosech"(x) = \frac{1}{\sinh(x)}$
Relazione fondamentale
$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$
Simmetrie
$\sinh(-x) = - \sinh(x) \qquad \cosh(-x) = \cosh(x) \qquad "tgh"(-x) = - "tgh"(x)$
Formule di addizione
$\sinh(x + y) = \sinh(x) \cosh(y) + \cosh(x) \sinh(y)$
$\sinh(x - y) = \sinh(x) \cosh(y) - \cosh(x) \sinh(y)$
$\cosh(x + y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y)$
$\cosh(x - y) = \cosh(x) \cosh(y) - \sinh(x) \sinh(y)$
$"tgh"(x + y) = \frac{"tgh"(x) + "tgh"(y)}{1 + "tgh"(x) "tgh"(y)}$
$"tgh"(x - y) = \frac{"tgh"(x) - "tgh"(y)}{1 - "tgh"(x) "tgh"(y)}$
Formule di duplicazione
$\sinh(2x) = 2 \sinh(x) \cosh(x)$
$\cosh(2x) = \cosh^2(x) + \sinh^2(x) = 2 \cosh^2(x) - 1 = 1 + 2 \sinh^2(x)$
$"tgh"(2x) = \frac{2 "tgh"(x)}{1 + "tgh"^2(x)}$
Formule di bisezione
$\sinh^2(x) = \frac{\cosh(2x) - 1}{2} \qquad \cosh^2(x) = \frac{\cosh(2x) + 1}{2} \qquad "tgh"(x) = \frac{\cosh(2x) - 1}{\sinh(2x)} = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x) + 1}$
Formule di prostaferesi
$\sinh(p) + \sinh(q) = 2 \sinh(\frac{p+q}{2}) \cosh(\frac{p-q}{2})$
$\sinh(p) - \sinh(q) = 2 \cosh(\frac{p+q}{2}) \sinh(\frac{p-q}{2})$
$\cosh(p) + \cosh(q) = 2 \cosh(\frac{p+q}{2}) \cosh(\frac{p-q}{2})$
$\cosh(p) - \cosh(q) = 2 \sinh(\frac{p+q}{2}) \sinh(\frac{p-q}{2})$
Formule parametriche
$\sinh(x) = \frac{2 "tgh"(\frac{x}{2})}{1 - "tgh"^2(\frac{x}{2})} \qquad \cosh(x) = \frac{1 + "tgh"^2(\frac{x}{2})}{1 - "tgh"^2(\frac{x}{2})} \qquad "tgh"(x) = \frac{2 "tgh"(\frac{x}{2})}{1 + "tgh"^2(\frac{x}{2})}$
Funzioni inverse
Le funzioni inverse delle funzioni iperboliche considerate sono rispettivamente settore seno iperbolico, settore coseno iperbolico, settore tangente iperbolica, settore cotangente iperbolica, settore secante iperbolica, settore cosecante iperbolica
$"settsinh"(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) \qquad "settcosh"(x) = \log(x - \sqrt{x^2 - 1})$
$"setttgh"(x) = \frac{1}{2} \log(\frac{1 + x}{1 - x}) \qquad "settcotgh"(x) = \frac{1}{2} \ln(\frac{x+1}{x-1})$
$"settsech"(x) = \ln(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}) \qquad "settcosech"(x) = \ln(\frac{1 \pm \sqrt{1 + x^2}}{x})$
I logaritmi si intendono in base $e$.
Funzioni iperboliche e goniometriche con argomento complesso
$\cosh(i x) = \cos(x)$
$\sinh(i x) = i \cdot \sin(x)$
$"tgh"(i x) = i \cdot "tg"(x)$
$\sinh(x) = - i \cdot \sin(i x)$
$\cosh(x) = \cos(i x)$
$"tgh"(x) = -i \cdot "tg"(i x)$
$"settsinh"(x) = i \cdot "arcsin"(i x)$
$"settcosh"(x) = i \cdot "arccos"(i x)$
$"setttgh"(x) = i \cdot "arctg"(- i x)$
Scritto da , il 24-10-2010 17:15 grazie! qui c\'è molto di cui spesso ho bisogno (studente di ingegneria della facolta di padova) Scritto da , il 18-01-2010 15:46 Esiste da qualche parte in questo sito una tabella riassuntiva dei principali valori assunti da sinh(x), cosh(x), tanh(x) e sech(x) per 0, pigreco/2, pigreco e 3*pigreco/2 ? Scritto da , il 20-10-2009 16:32 sono perfettamente daccordo con rapink,...sarebbero davvero utili anche i grafici!! Scritto da , il 13-11-2008 12:03 sarebbero utili anche dei grafici con l\'andamento delle funzioni; anche se è un formulario.. Scrivi Commento
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