Matematicamente

Definizione: un'ellisse è il luogo dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Equazione canonica: l'equazione di un'ellisse con centro nell'origine e asse focale parallelo ad uno degli assi cartesiani è $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (dove $a,b > 0$). Se $a > b$ l'asse focale è parallelo all'asse $x$, se invece $a < b$ l'asse focale è parallelo all'asse $y$.

Notare che se $a = b$ si ottiene l'equazione di una circonferenza con centro nell'origine e raggio $a$.

Equazione dell'ellisse traslata: l'equazione cartesiana di un'ellisse con asse focale parallelo ad uno degli assi cartesiani e centro in $(x_0, y_0)$ è $\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$.

Equazione parametrica: dato un'ellisse con equazione cartesiana $\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$, la sua equazione parametrica è

Vertici: dato un'ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, le coordinate dei vertici sono

Asse focale: si dice asse focale il segmento contenente i due fuochi dell'ellisse. Se $a > b$ il segmento $A_1 A_2$ è l'asse focale mentre $B_1 B_2$ è l'asse minore, se invece $a < b$ il segmento $B_1 B_2$ è l'asse focale e $A_1 A_2$ è l'asse minore. Quindi se $a > b$ la lunghezza dell'asse focale è $2a$, se $a < b$ la lunghezza dell'asse focale è $2b$.

Fuochi: data un'ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, posto $c = \sqrt{|a^2 - b^2|}$, le coordinate dei fuochi sono

- $F_1 = (c, 0)$ e $F_2 = (-c, 0)$ se $a > b$

- $F_1 = (0, c)$ e $F_2 = (0, -c)$ se $a < b$

Eccentricità: data un'ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$, e posto $c = \sqrt{|a^2 - b^2|}$

- se $a > b$ l'eccentricità vale $e = \frac{c}{a}$

- se $a < b$ l'eccentricità vale $e = \frac{c}{b}$

Comunque si scelgano $a,b > 0$, con $a \ne b$, risulta $0 < e < 1$. Se $a = b$, ossia nel caso di una circonferenza, risulta $e = 0$.

Intersezione di un'ellisse con una retta: dato un'ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ e una retta di equazione $y = mx + q$:

- se $a^4 m^2 q^2 - a^2 (q^2 - b^2) (b^2 + a^2 m^2) < 0$ la retta è esterna all'ellisse, e non ci sono intersezioni

- se $a^4 m^2 q^2 - a^2 (q^2 - b^2) (b^2 + a^2 m^2) = 0$ la retta è tangente all'ellisse, e le coordinate del punto di tangenza sono date dalla soluzione del sistema

$\{(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1),(y = mx + q):}$

- se $a^4 m^2 q^2 - a^2 (q^2 - b^2) (b^2 + a^2 m^2) > 0$ la retta è secante, e le coordinate dei due punti di intersezione sono dati dalle soluzioni del sistema

$\{(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1),(y = mx + q):}$

Nel caso di una retta parallela all'asse $y$ di equazione $x = x_0$:

- se $|x_0| > a$ la retta è esterna e non ha punti di intersezione con l'ellisse

- se $x_0 = -a$ la retta è tangente e il punto di tangenza ha coordinate $(-a,0)$

- se $x_0 = a$ la retta è tangente e il punto di tangenza ha coordinate $(a,0)$

- se $-a < x_0 < a$ la retta è secante e interseca l'ellisse nei due punti $(x_0, \pm b \sqrt{1 - \frac{x_0^2}{a^2}})$

Ellisse passante per due punti: dati due punti $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ non simmetrici rispetto agli assi o all'origine, l'equazione dell'ellisse con centro in $(0,0)$ e asse focale parallelo ad uno degli assi cartesiano è $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, dove $a, b$ sono la soluzione del sistema

$\{(\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1),(\frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1):}$

Ellisse di cui si conosce un fuoco e un vertice: l'equazione di un'ellisse che ha un fuoco in $(c, 0)$ e un vertice in $(a,0)$ è $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - c^2} = 1$.

L'equazione di un'ellisse con un fuoco in $(0,c)$ e vertice in $(a, 0)$ è $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 + c^2} = 1$

L'equazione di un'ellisse con un fuoco in $(0,c)$ e vertice in $(0, b)$ è $\frac{x^2}{b^2 - c^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

L'equazione di un'ellisse con un fuoco in $(c,0)$ e vertice in $(0, b)$ è $\frac{x^2}{b^2 + c^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

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