Matematicamente
|
|
Ti trovi in: Home 
Formulario Geometria analitica nel piano: retta
| Geometria analitica nel piano: retta | di Gianni Sammito |
|
Equazione in forma implicita: dati $a, b, c \in \mathbb{R}$, con $a$ e $b$ non contemporaneamente nulli, l'equazione cartesiana di una retta in forma implicita è $ax + by + c = 0$
Equazione di una retta in forma esplicita: se $b \ne 0$, posto $m = -\frac{a}{b}$ e $q = -\frac{c}{b}$ si ottiene l'equazione cartesiana in forma esplicita di una retta, ovvero $y = mx + q$. Il termine $m$ si dice coefficiente angolare, il termine $q$ si dice quota.
Retta parallela all'asse $x$: l'equazione di una generica retta parallela all'asse $x$ è $y = k$, ottenuta dall'equazione in forma implicita per $a=0$ e $k = -\frac{c}{b}$. Il coefficiente angolare di una retta di questo tipo è $0$, mentre la quota è $k$.
Retta parallela all'asse $y$: l'equazione di una generica retta parallela all'asse $y$ è $x = h$, ottenuta dall'equazione in forma implicita per $b=0$ e $h = -\frac{c}{a}$. Per rette parallele all'asse $y$ non sono definiti né il coefficiente angolare né la quota.
Equazione parametrica: l'equazione parametrica di una retta parallela all'asse $y$, avente equazione cartesiana $x = x_0$, è
$\{(x = x_0),(y = t):} \qquad t \in \mathbb{R}$
Invece l'equazione parametrica di una retta avente equazione cartesiana $y = mx + q$ è
$\{(x = t),(y = mt + q):} \qquad t \in \mathbb{R}$
Equazione di una retta passante per due punti: l'equazione della retta passante per due punti distinti $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$ è $(x - x_1) (y_2 - y_1) = (y - y_1) (x_2 - x_1)$
Coeff. angolare di una retta passante per due punti: il coefficiente angolare della retta passante per due punti distinti $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$ vale
- $m = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$ se $x_1 \ne x_2$
- non è definito se $x_1 = x_2$, dato che in tal caso la retta è parallela all'asse $y$ ed ha equazione $x = x_1$
Condizione di parallelismo: due rette di equazione $ax + by + c = 0$ e $a'x + b'y + c' = 0$ sono parallele se e solo se $a \cdot b' - b \cdot a' = 0$.
Se le due rette possono essere scritte in forma esplicita, $y = mx +q$ e $y = m'x + q'$, la condizione di parallelismo diventa $m = m'$, ossia i coefficienti angolari devono essere uguali.
Intersezione fra due rette: se due rette di equazione $a x + by + c = 0$ e $a' x + b'y + c' = 0$ non sono parallele, allora hanno uno e un solo punto di intersezione, le cui coordinate $(x,y)$ sono date dalla risoluzione del sistema
$\{(ax + by + c = 0),(a'x + b'y + c' = 0):}$
Condizione di perpendicolarità: due rette di equazione $ax + by + c = 0$ e $a'x + b'y + c' = 0$ sono ortogonali se e solo se $a \cdot a' + b \cdot b' = 0$.
Se le due rette possono essere scritte nella forma esplicita $y = mx + q$ e $y = m'x + q'$, la condizione di perpendicolarità diventa $m = - \frac{1}{m'}$, ossia $m \cdot m' = -1$.
Fascio improprio di rette: si dice fascio improprio di rette l'insieme di tutte le rette parallele ad una retta data, della base del fascio.
Se $ax + by + c = 0$ è l'equazione della retta data, base del fascio, al variare di $k \in \mathbb{R}$ l'equazione $ax + by + k = 0$ rappresenta l'equazione del fascio improprio.
Se $y = mx + q$ è l'equazione in forma esplicita della base del fascio, l'equazione del fascio improprio, al variare di $k \in \mathbb{R}$, è $y = mx + k$.
Casi particolari: $x = k$ rappresenta l'equazione del fascio di rette parallele all'asse $y$, $y = k$ rappresenta invece l'equazione del fascio di rette parallele all'asse $x$.
Equazione della retta passante per un punto e parallela ad una retta data: l'equazione della retta passante per un punto $(x_0, y_0)$ e parallela alla retta di equazione $ax + by + c = 0$ è
$ax + by - a x_0 - b y_0 = 0$
Equazione della retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta data: l'equazione della retta passante per un punto $(x_0, y_0)$ e perpendicolare alla retta di equazione $a x + by + c = 0$ è
$bx - ay - b x_0 + a y_0 = 0$
Fascio proprio di rette: si dice fascio proprio di rette con centro $P$ l'insieme di tutte le rette del piano passanti per $P$. Se $ax + by + c = 0$ e $a'x + b'y + c' = 0$ sono due rette (non parallele) incidenti nel punto $P = (x_0, y_0)$, allora, al variare di $h, k \in \mathbb{R}$ non contemporaneamente nulli, l'equazione del fascio di rette proprio con centro $P$ è
$h (ax + by + c) + k(a'x + b'y + c') = 0$
Posto $\gamma = \frac{h}{k}$, l'equazione
$\gamma (ax + by + c) + a'x + b'y + c'=0$
rappresenta al variare di $\gamma \in \mathbb{R}$ l'insieme di tutte le rette del piano passanti per $P$, ad eccezione della retta di equazione $ax + by + c = 0$.
Caso particolare: dato un punto $P = (x_0, y_0)$, l'equazione del fascio proprio con centro $P$ è descritto, al variare di $h, k \in \mathbb{R}$ non contemporaneamente nulli, dall'equazione
$h (x - x_0) + k (y - y_0)$
Pertanto al variare di $m \in \mathbb{R}$ l'equazione
$y - y_0 = m (x - x_0)$
individua l'insieme di tutte le rette del piano passanti per $P$, ad eccezione della retta di equazione $x = x_0$.
Distanza punto-retta: la distanza fra un punto $P = (x_0, y_0)$ e una retta di equazione $a x + by + c = 0$ vale $d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
Scritto da , il 28-07-2011 16:13 fatto benissimo!!!!!! Scritto da , il 13-01-2011 17:50 è utilissimo grazie.... Scritto da , il 27-10-2010 17:51 molto utile e sintetico... GRZ 1000 Scritto da , il 23-10-2010 15:19 io pero non ho capito se ho una equazione(esempio 5x-10y+15=0)...come faccio a ricavere le incognite?? Scritto da , il 26-08-2010 15:44 capito quasi tutto...l'unica cosa che nn mi è chiara sono l fascio proprio e improprio Scritto da , il 14-07-2010 15:19 ho cercato ma invano la formula della distanza fra due rette parallele di date equazioni Scritto da , il 18-06-2010 17:14 bravo, ma hai dimenticato il punto medio di un segmento nel piano Scritto da , il 18-06-2010 17:13 non ho capito le ultime 537 parole Scritto da , il 15-12-2009 20:34 sei a dir poco un genio!!! bravissimo!!! Scritto da , il 24-11-2009 22:38 mi hai salvato x l'interrogazione di matematica....ti devo un...voto e la vita ^^ sei stato molto sintetico e preciso...complimentissimi!!!!!! ^^ hai un gran futuro km matematiko ^^ Scritto da , il 06-02-2009 06:06 Chiaro e molto preciso. Scritto da , il 11-01-2009 17:40 Utilissimo ^^ Scrivi Commento
Powered by AkoComment Tweaked Special Edition v.1.4.6 |
||||||
| < Prec. | Pros. > |
|---|
|
Iniziative editoriali
|
Test - quiz - simulazione |
Gioca con la matematica |
 |
|
|
|
|