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Formulario Geometria analitica nel piano: spirale e trattrice
| Geometria analitica nel piano: spirale e trattrice | di Gianni Sammito |
SpiraleUna spirale è una curva che si avvolge attorno ad un punto fisso, detto polo della spirale. Spirale archimedea
Equazione in forma polare: dati $a, b \in \mathbb{R}$, l'equazione in coordinate polari di una spirale archimedea è
$\rho = a + b \theta$
Distanza fra i bracci: in una spirale archimedea la distanza fra i bracci vale $2 \pi b$.
Spirale iperbolica
Equazione in forma polare: dato $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, l'equazione in coordinate polare di una spirale iperbolica è $\rho \theta = a$.
Equazione parametrica: l'equazione parametrica di una spirale iperbolica è
${(x = a \frac{\cos(t)}{t}),(y = a \frac{\sin(t)}{t}):} \quad t \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$
Asintoto: una spirale iperbolica, di equazione in forma polare o parametrica come le precedenti, ammette come asintoto la retta di equazione $y = a$.
Spirale logaritmica
Equazione in forma polare: dati $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ e $b \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$, l'equazione in coordinate polari di una spirale logaritmica è
$\rho = a b^{\theta}$
o equivalentemente
$\theta = \log_{b}(\frac{\rho}{a})$
Equazione parametrica: l'equazione parametrica di una spirale logaritmica è
$\{(x = a b^t \cos(t)),(y = a b^t \sin(t)):} \quad t \in \mathbb{R}$
TrattriceLa trattrice è una curva in cui i segmenti tra una curva e una data retta risultano di ugual misura. 
Equazione trigonometrica: l'equazione in forma trigonometrica di una trattrice con la cuspide nel punto $(a,0)$ è
$x = a \ln(\frac{a + \sqrt{a^2 - y^2}}{y}) - \sqrt{a^"2- x^2}$
$y = a \cos(t) \quad t \in [0, \frac{\pi}{2}]$
Equazione iperbolica: l'equazione in forma iperbolica di una trattrice con la cuspide in $(a,0)$ è
$y = \frac{a}{\cosh(t)}$
Equazione differenziale: una trattrice con la cuspide in $(a,0)$ soddisfa la seguente equazione differenziale
$\frac{dx}{dy} = - \frac{y}{\sqrt{a^2 - y^2}}$
Asintoto: una trattrice, avente come equazione una delle precedenti, ammette come asintoto la retta di equazione $x = 0$
Lunghezza di un arco: la lunghezza di un arco di trattrice individuato dalle rette di equazione $x = x_1$ e $x = x_2$ ($0 < x_1 \le x_2$) è $a \ln(\frac{x_1}{x_2})$
Area: l'area compresa fra la trattrice e il suo asintoto è $a^2 \frac{\pi}{2}$
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