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Formulario Geometria analitica nel piano: traslazioni e rotazioni
| Geometria analitica nel piano: traslazioni e rotazioni | di Gianni Sammito |
Traslazioni nel pianoSiano $xOy$ e $X O' Y$ due riferimenti cartesiani paralleli ed equiversi, e siano $(x_0, y_0)$ le coordinate di $O'$ rispetto a $O$, allora le coordinate dei due riferimenti sono legate dalle equazioni
$\{(X = x - x_0),(Y = y - y_0):}$
Risulta
$\{(X = x - 1),(Y = y - 3):} \implies \{(x = X + 1),(y = Y + 3):}$
$2(X + 1) + 3 (Y + 3) - 5 = 0 \implies 2 X + 2 + 3 Y + 9 - 5 = 0 \implies 2 X + 3 Y + 6 = 0$
Esempio: data la parabola di equazione $y = 3x^2 - 5x + 6$, scrivere l'equazione della parabola simmetrica rispetto alla retta $y = 2$. Per prima cosa si considera un nuovo riferimento cartesiano $X O' Y$ centrato in $(0, 2)$, quindi
$\{(X = x - 0),(Y = y - 2):} \implies \{(x = X),(y = Y + 2):}$
$Y = - 3X^2 + 5 X - 4$
$\{(X = x),(Y = y - 2):}$
$y - 2 = - 3x^2 + 5 x - 4 \implies y = - 3x^2 + 5x - 2$
Rotazioni nel pianoSia $x O y$ un riferimento cartesiano ortogonale, $O = (0,0)$, e sia $X O Y$ un nuovo riferimento ottenuto come rotazione antioraria di un angolo $\theta$ attorno ad $O$ di $x O y$. Le coordinate dei due riferimenti sono legate dalle seguenti equazioni
$\{(X = x \cos(\theta) - y \sin(\theta)),(Y = x \sin(\theta) + y \cos(\theta)):}$
Si consideri come nuovo riferimento cartesiano $X O Y$ quello ottenuto ruotando il riferimento canonico in senso orario di un angolo pari a $\frac{\pi}{4}$. In tal modo gli assi dell'ellisse appartengono agli assi del nuovo riferimento, e l'equazione dell'ellisse rispetto a $X O Y$ è banalmente
$\frac{X^2}{9} + \frac{Y^2}{4} = 1$
$\{(X = x \cos(\frac{\pi}{4}) - y \sin(\frac{\pi}{4})),(Y = x \sin(\frac{\pi}{4}) + y \cos(\frac{\pi}{4})):} \implies \{(X = \frac{x}{\sqrt{2}} - \frac{y}{\sqrt{2}}),(Y = \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}}):}$
e sostituendo nell'equazione precedente, si trova l'equazione dell'ellisse richiesto rispetto al sistema $x O y$, ovvero
$\frac{(\frac{x}{\sqrt{2}} - \frac{y}{\sqrt{2}})^2}{9} + \frac{(\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}})^2}{4} = 1$
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