Matematicamente

1° caso: parabola con asse di simmetria parallelo all'asse $y$

Equazione cartesiana: l'equazione cartesiana di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse $y$ è $y = a x^2 + bx + c$, con $a, b, c \in \mathbb{R}$ e $a \ne 0$.

Equazione parametrica: l'equazione parametrica di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse $y$ è

 
Fuoco: le coordinate del fuoco sono $F = (-\frac{b}{2a}, \frac{1 - b^2 + 4 ac}{4a})$

Direttrice: l'equazione della direttrice è $y = \frac{-1 - b^2 + 4ac}{4a}$

Asse di simmetria: l'asse di simmetria ha equazione $x = -\frac{b}{2a}$

Vertice: il vertice ha coordinate $V = (-\frac{b}{2a}, \frac{-b^2 + 4ac}{4a})$

Concavità: se $a > 0$ la parabola rivolge la concavità verso l'alto, e si dice convessa, se invece $a < 0$ rivolge la concavità verso il basso, e si dice concava.

2° caso: parabola con asse di simmetria parallelo all'asse $x$

Equazione cartesiana: l'equazione cartesiana di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse $x$ è $x = a y^2 + by + c$, con $a, b, c \in \mathbb{R}$ e $a \ne 0$.

Equazione parametrica: l'equazione parametrica di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse $x$ è

 
Fuoco: le coordinate del fuoco sono $F = (\frac{1 - b^2 + 4 ac}{4a}, -\frac{b}{2a})$

Direttrice: l'equazione della direttrice è $x = \frac{-1 - b^2 + 4ac}{4a}$

Asse di simmetria: l'asse di simmetria ha equazione $y = -\frac{b}{2a}$

Vertice: il vertice ha coordinate $V = (\frac{-b^2 + 4ac}{4a}, -\frac{b}{2a})$

Concavità: se $a > 0$ la parabola rivolge la concavità verso destra, se invece $a < 0$ rivolge la concavità verso sinistra.

Nel seguito si considera il caso di parabola con asse di simmetria parallelo all'asse $y$, ma tutti i ragionamenti possono essere estesi per dualità al caso di parabole con asse di simmetria parallelo all'asse $x$

Intersezioni di una parabola con una retta: data un parabola di equazione, il punto di intersezione con una retta parallela all'asse $y$ di equazione $x = x_0$ è $(x_0, a x_0^2 + b x_0 + c)$. Se invece la retta non è parallela all'asse $y$, ma ha equazione $y = mx + q$, si distinguono i seguenti casi

- se $b^2 - 2bm + m^2 - 4ac + 4aq < 0$ allora la retta e la parabola non si intersecano

- se $b^2 - 2bm + m^2 - 4ac + 4aq = 0$ allora la retta è tangente alla parabola nel punto $(\frac{m-b}{2a}, \frac{m^2 - mb + 2aq}{2a})$

- se $b^2 - 2bm + m^2 - 4ac + 4aq > 0$ allora la retta interseca la parabola nei due punti

$(\frac{m - b - \sqrt{b^2 - 2bm + m^2 - 4ac + 4aq}}{2a}, \frac{m - b - \sqrt{b^2 - 2bm + m^2 - 4ac + 4aq}}{2a} \cdot m + q)$

$(\frac{m - b + \sqrt{b^2 - 2bm + m^2 - 4ac + 4aq}}{2a}, \frac{m - b + \sqrt{b^2 - 2bm + m^2 - 4ac + 4aq}}{2a} \cdot m + q)$

Rette tangenti ad una parabola: data una parabola $\gamma$ di equazione $y = a x^2 + bx + c$ e un punto esterno alla parabola $P = (x_0, y_0)$, le equazioni delle rette passanti per $P$ e tangenti a $\gamma$ sono

dove $m_1$ e $m_2$ sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado in $m$

$m^2 - (2b + 4 a x_0) m + b^2 - 4ac + 4a y_0 = 0$

Parabola passante per tre punti: l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse $y$ passante per i punti $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ e $(x_3, y_3)$ è $y = ax^2 + bx + c$, dove $a,b,c$ sono la soluzione del sistema

$\{(y_1 = a x_1^2 + b x_1 + c),(y_2 = a x_1^2 + b x_2 + c),(y_3 = a x_3^2 + b x_3 + c):}$

Parabola di cui si conosce vertice e fuoco: l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse $y$, di cui si conoscono il vertice $V = (x_0, y_0)$ e il fuoco $F = (x_0, y_1)$ è $y = ax^2 + bx + c$, dove $a,b,c$ sono la soluzione del sistema

$\{(-\frac{b}{2a} = x_0),(y_0 = a x_0^2 + b x_0 + c),(y_1 = \frac{1 - b^2 + 4ac}{4a}):}$

Parabola di cui si conosce un vertice e un punto di passaggio: l'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse $y$, avente vertice in $V = (x_0, y_0)$ e passante per il punto $(x_1, y_1)$ è $y = ax^2 + bx + c$, $a,b,c$ sono la soluzione del sistema

$\{(-\frac{b}{2a} = x_0),(y_0 = a x_0^2 + b x_0 + c),(y_1 = a x_1^2 + b x_1 + c):}$

Parabola di cui si conosce il vertice e la direttrice: l'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse $y$, avente vertice in $V = (x_0, y_0)$ e avente direttrice di equazione $y = y_d$ è $y = ax^2 + bx + c$, dove $a,b,c$ sono la soluzione del sistema

$\{(-\frac{b}{2a} = x_0),(y_0 = a x_0^2 + b x_0 + c),(y_d = \frac{-1-b^2 + 4ac}{4a}):}$

Parabola di cui si conosce l'equazione dell'asse di simetria, la direttrice e un punto di passaggio: l'equazione con asse di simmetria avente equazione $x = x_s$, direttrice $y = y_d$ e passante per il punto $(x_0, y_0)$ è $y = ax^2 + bx + c$, dove $a,b,c$ sono la soluzione del sistema

$\{(-\frac{b}{2a} = x_s),(y_d = \frac{-1-b^2 + 4ac}{4a}),(y_0 = a x_0^2 + b x_0 + c):}$