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Formulario Geometria analitica nello spazio: sfera, ellissoide, paraboloide
| Geometria analitica nello spazio: sfera, ellissoide, paraboloide | di Gianni Sammito |
Sfera
Equazione cartesiana: l'equazione cartesiana di una sfera con centro in $(x_0, y_0, z_0)$ e raggio $R$ è
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$
Equazione in coordinate sferiche: l'equazione in coordinate sferiche di una sfera con centro in $(x_0, y_0, z_0)$ e raggio $R$ è
$\{(x = x_0 + R \sin(\theta) \cos(\phi)),(y = y_0 + R \sin(\theta) \sin(\phi)),(z = z_0 + R \cos(\theta)):} \qquad \theta \in [0, \pi] \quad \phi \in [0, 2 \pi)$
Area: data una sfera di raggio $R$, la superficie sferica vale $4 \pi R^2$
Volume: il volume di una sfera con raggio $R$ vale $\frac{4}{3} \pi R^3$
Ellissoide
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2} = 1$
Se $a = b$ o $b = c$ o $a = c$ l'ellissoide viene detto sferoide, se invece $a = b = c$ l'equazione precedente identifica una sfera con centro in $(0,0,0)$ e raggio $a$.
Volume: il volume di un ellissoide con equazione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ è $"Volume" = \frac{4}{3} \pi abc$.
ParaboloideI due luoghi geometrici trattati nel seguito sono detti paraboloidi perché le loro sezione verticali sono parabole. Paraboloide ellittico
Equazione cartesiana: l'equazione cartesiana di un paraboloide ellittico è $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + 2z = 0$
Un tale paraboloide si chiama ellittico perché le sue sezioni orizzontali sono ellissi.
Paraboloide iperbolico
Equazione cartesiana: l'equazione cartesiana di un paraboloide ellittico è $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{y^2} + 2z = 0$
Un tale paraboloide si dice iperbolico perché le sue sezioni orizzontali sono iperboli.
Scritto da , il 02-11-2008 19:17 Sintesi e chiarezza s'intrecciano e fanno venir fuori una trattazione elegante. Complimenti! Ciao Lillo Scrivi Commento
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