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Formulario Indipendenza e densità condizionali
| Indipendenza e densità condizionali | di Gianni Sammito |
Definizione
Si dice che $n$ variabili aleatorie $X_1, X_2, \ldots, X_n$ sono indipendenti se e solo se per ogni scelta di $a_1 < b_1, a_2 < b_2, \ldots, a_n < b_n$ risulta
$P(\{a_1 \le X_1 \le b_1\} \cap \{a_2 \le X_2 \le b_2\} \cap \ldots \cap \{a_n \le X_n \le b_n\}) =$
$= P(\{a_1 \le X_1 \le b_1\}) \cdot P(\{a_2 \le X_2 \le b_2\}) \cdot \ldots \cdot P(\{a_n \le X_n \le b_n\})$
Proprietà
Se $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ è una variabile aleatoria vettoriale, le cui componenti sono variabili aleatorie indipendenti, allora la densità congiunta di $X$ è data dal prodotto delle marginali
$f_X(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f_{X_1}(x_1) \cdot f_{X_2}(x_2) \cdot \ldots \cdot f_{X_n}(x_n)$
Vale anche il viceversa, cioè se la densità congiunta è data dal prodotto delle marginali, allora le variabili aleatorie $X_1, X_2, \ldots, X_n$ sono indipendenti.
Densità condizionali
Se $X$ e $Y$ sono due variabili aleatorie con densità di probabilità congiunta $f_{X,Y}(x,y)$ e marginali $f_X(x)$ e $f_Y(y)$, si definisce densità di probabilità condizionale di $X$ dato $Y = y$
$f_{X | Y} (x | y) = \{(\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}, \quad "se " f_Y(y) \ne 0),(0, \quad "se " f_Y(y) = 0):}$
Notare che mentre $x$ è una variabile $y$ è fissato.
Caso particolare: indipendenza
Se $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie indipendenti, allora le densità condizionali equivalgono alle densità marginali
$f_{X | Y}(x | y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} = \frac{f_X(x) f_Y(y)}{f_Y(y)} = f_X(x)$
$f_{X | Y}(x | y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)} = \frac{f_X(x) f_Y(y)}{f_X(x)} = f_Y(y)$
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