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Formulario Integrali
| Integrali | di Gianni Sammito |
Definizione di primitiva
Si dice che una funzione $F(x)$ è una primitiva di $f: I \to \mathbb{R}$ ($I$ è un intervallo e $f$ è continua) se e solo se $F'(x) = f(x)$ per ogni $x \in I$.
Esempio: la funzione $F(x) = x^2 + 1$ è una primitiva di $f(x) = 2x$.
Proprietà dell'integrale
Linearità
$\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$ (additività)
$\int_a^b k \cdot f(x) dx = k \cdot \int_a^b f(x) dx \quad \forall k \in \mathbb{R}$ (omogeneità)$
Additività rispetto all'intervallo di integrazione
Se $a \le b \le c$, allora
$\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$
Convenzione
Se $a < b$ allora
$\int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx$
Monotonia rispetto all'integranda
Se $f(x) \ge 0 \quad \forall x \in [a,b]$ allora $\int_a^b f(x) dx \ge 0$
Valore assoluto di un integrale
$|\int_a^b f(x) dx| \le \int_a^b |f(x)| dx$
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Se $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ è continua e $F$ è una primitiva di $f$ su $[a,b]$ allora $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.
Metodi elementari per il calcolo di primitive
Integrazione per scomposizione
$\int (k_1 f(x) + k_2 g(x)) dx = k_1 \int f(x) dx + k_2 \int g(x) dx$, $k_1, k_2 \in \mathbb{R}$
Integrali indefiniti immediati
$\int (f(x))^{\alpha} f'(x) dx = \frac{(f(x))^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + c$, $\alpha \ne -1$
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln(|f(x)|) + c$
$\int f'(x) \sin(f(x)) dx = - \cos(f(x)) + c$
$\int f'(x) \cos(f(x)) dx = \sin(f(x)) + c$
$\int \frac{f'(x)}{\cos^2(f(x))} = "tg"(f(x)) + c$
$\int \frac{f'(x)}{\sin^2(f(x))} dx = - "cotg"(f(x)) + c$
$\int f'(x) e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + c$
$\int f'(x) a^{f(x)} dx = a^{f(x)} \log_a(e) + c$
$\int \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - (f(x))^2}} dx = "arcsin"(f(x)) + c$
$\int \frac{f'(x)}{1 + (f(x))^2} dx = "arctg"(f(x)) + c$
Integrazione per sostituzione
Posto $x = g(t)$ (con $g$ funzione invertibile e derivabile con continuità su un opportuno intervallo $[\alpha, \beta]$), si ha che
$\int f(x) dx = \int f(g(t)) g'(t) dt$
Nel caso di integrali definiti si ha infatti
$\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) dt$
dove $a = g(\alpha)$ e $b = g(\beta)$.
Integrazione per parti
$\int f'(x) \cdot g(x) dx = f(x) \cdot g(x) - \int f(x) \cdot g'(x) dx$
Tavola di primitive di funzioni elementari
$\int k dx = k x + c$, per ogni $k \in \mathbb{R}$
$\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + c$, se $\alpha \ne -1$
$\int \frac{1}{x} dx = \ln(|x|) + c$
$\int e^x dx = e^x + c$
$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + c$
$\int \ln(x) dx = x \ln(x) - x + c$
$\int \log_b(x) dx = x \log_b(x) - x \log_b(e) + c$
$\int \sin(x) dx = - \cos(x) + c$
$\int \cos(x) dx = \sin(x) + c$
$\int "tg"(x) dx = - \ln(|\cos(x)|) + c$
$\int "cotg"(x) dx = \ln(|\sin(x)|) + c$
$\int "sec"(x) dx = \ln(|"sec"(x) + "tg"(x)|) + c = \int \frac{1}{\cos(x)} dx = \ln(|\frac{1}{\cos(x)} + "tg"(x)|) + c$
$\int "cosec"(x) dx = \ln(|"cosec"(x) - "cotg"(x)|) + c = \int \frac{1}{\sin(x)} dx = \ln(|\frac{1}{\sin(x)} - "cotg"(x)|) + c$
$\int "arcsin"(x) dx = x "arcsin"(x) + \sqrt{1 - x^2} + c$
$\int "arctg"(x) dx = x "arctg"(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + c$
$\int \sin^2(x) dx = \frac{1}{2} (x - \sin(x) \cos(x)) + c$
$\int \cos^2(x) dx = \frac{1}{2} (x + \sin(x) \cos(x)) + c$
$\int "sec"^2(x) dx = "tg"(x) + c$
$\int "cosec"^2(x) dx = - "cotg"(x) + c$
$\int \sinh(x) dx = \cosh(x) + c$
$\int \cosh(x) dx = \sinh(x) + c$
$\int "tgh"(x) dx = \ln(\cosh(x)) + c$
$\int "cotgh"(x) dx = \ln(|\sinh(x)|) + c$
$\int "sech"(x) dx = "setttgh"(\sinh(x)) + c$
$\int "cosech"(x) dx = \ln(|"tgh"(\frac{x}{2})|) + c$
$\int "settsinh"(x) dx = x \cdot "settsinh"(x) - \sqrt{x^2 + 1} + c$
$\int "settcosh"(x) dx = x \cdot "settcosh"(x) - \sqrt{x^2 - 1} + c$
$\int "setttgh"(x) dx = x \cdot "setttgh"(x) + \frac{\ln(1 - x^2)}{2} + c$
$\int \frac{1}{1 + x^2} dx = "arctg"(x) + c$
$\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} "arctg"(\frac{x}{a}) + c$
$\int \frac{1}{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{2a} \ln(|\frac{x+a}{x-a}|) + c$
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = "arcsin"(x) + c$
$\int \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = "arccos"(x) + c$
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = "arcsin"(\frac{x}{a}) + c$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = "settsinh"(x) + c$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} dx = "settcosh"(x) + c$
$\int \sqrt{x^2 \pm a^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln(|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}|) + c$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx = \ln(|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}|) + c$
$\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} "arcsin"(\frac{x}{a}) + c$
$\int \sin(ax) \sin(bx) dx = \frac{\sin((a-b)x)}{2(a-b)} - \frac{\sin((a+b)x)}{2(a+b)} + c$, se $a^2 \ne b^2$
$\int \cos(ax) \cos(bx) dx = \frac{\sin((a-b)x)}{2 (a-b)} + \frac{\sin((a+b)x)}{2(a+b)} + c$, se $a^2 \ne b^2$
$\int \sin(ax) \cos(bx) dx = -\frac{\cos((a-b)x)}{2(a-b)} - \frac{\cos((a+b)x)}{2(a+b)} + c$, se $a^2 \ne b^2$
$\int \sin^n(x) dx = -\frac{1}{n} \sin^{n-1}(x) \cos(x) + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}(x) dx$, se $n \ge 2$
$\int \cos^n(x) dx = \frac{1}{n} \cos^{n-1}(x) \sin(x) + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}(x) dx$, se $n \ge 2$
$\int "tg"^n(x) dx = \frac{1}{n-1} "tg"^{n-1}(x) - \int "tg"^{n-2}(x) dx$, se $n \ge 2$
$\int "cotg"^n(x) dx = - \frac{1}{n-1} "cotg"^{n-1}(x) - \int "cotg"^{n-2}(x) dx$, se $n \ge 2$
$\int \frac{1}{\cos^n(x)} dx = \frac{1}{n-1} \frac{1}{\cos^{n-2}(x)} "tg"(x) + \frac{n-2}{n-1} \int \frac{1}{\cos^{n-2}(x)} dx$, se $n \ge 2$
$\int \frac{1}{\sin^n(x)} dx = - \frac{1}{n-1} \frac{1}{\sin^{n-2}(x)} "cotg"(x) + \frac{n-2}{n-1} \int \frac{1}{\sin^{n-2}(x)} dx$, se $n \ge 2$
$\int \sin^n(x) \cos^m(x) dx = - \frac{\sin^{n+1}(z) \cos^{m+1}(x)}{n + m} + \frac{n-1}{n+m} \int \sin^{n-2}(x) \cos^m(x) dx$, se $n \ne -m$
$\int \sin^n(x) \cos^m(x) dx = \frac{\sin^{n+1}(x) \cos^{m-1}(x)}{n+m} + \frac{m-1}{n+m} \int \sin^n(x) \cos^{m-2}(x) dx$, se $n \ne -m$
$\int x^n \sin(x) dx = - x^n \cos(x) + n \int x^{n-1} \cos(x) dx$
Integrali impropri
Funzioni non limitate
Se $f: [a, b) \to \mathbb{R}$ è continua e $\lim_{x \to b^-} f(x) = +\infty$ (o $-\infty$), allora
$\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to 0^+} \int_{a}^{b + t} f(x) dx$
Criteri di integrabilità al finito
Siano $f, g: [a, b) \to \mathbb{R}$ due funzioni continue tali che $\lim_{x \to b^-} f(x) = \lim_{x \to b^-} g(x) = +\infty$. Valgono i seguenti criteri per stabilire la convergenza dell'integrale su $[a,b)$.
Criterio del confronto: se $0 \le f(x) \le g(x)$ per ogni $x \in [a,b)$, allora
$\int_a^b g(x) dx < +\infty \implies \int_a^b f(x) dx < +\infty$
$\int_a^b f(x) dx = +\infty \implies \int_a^b g(x) dx = +\infty$
Criterio del confronto asintotico: se $f, g > 0$ in $[a,b)$ e $\lim_{x \to b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ allora
$\int_a^b f(x) dx < +\infty \iff \int_a^b g(x) dx < +\infty$
$\int_a^b f(x) dx = +\infty \iff \int_a^b g(x) dx = +\infty$
Esempio di integrale improprio (al finito)
$\int_a^b \frac{1}{(x - a)^{\alpha}} \quad \{("diverge", \quad "se " \alpha \ge 1),("converge", \quad "se " \alpha < 1):}$
$\int_a^b \frac{1}{(b - x)^{\alpha}} \quad \{("diverge", \quad "se " \alpha \ge 1),("converge", \quad "se " \alpha < 1):}$
Integrabilità su intervalli illimitati
Nel caso di intervalli illimitati si pone $\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x) dx$. Siano $f,g: [a, +\infty) \to \mathbb{R}$ due funzioni continue, per studiare convergenza dell'integrale esteso a tutto il loro dominio si possono sfruttare i seguenti criteri.
Condizione necessaria: se $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ esiste, allora $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ può convergere solo se $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
Criterio del confronto: se $0 \le f(x) \le g(x)$ per ogni $x \in [a, +\infty)$, allora
$\int_{a}^{+\infty} g(x) dx < +\infty \implies \int_a^{+\infty} f(x) dx < +\infty$
$\int_a^{+\infty} f(x) dx = +\infty \implies \int_a^{+\infty} g(x) dx = +\infty$
Criterio del confronto asintotico: se $f,g > 0$ e $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, allora
$\int_a^{+\infty} f(x) dx < +\infty \iff \int_a^{+\infty} g(x) dx < +\infty$
$\int_a^{+\infty} f(x) dx = +\infty \iff \int_a^{+\infty} g(x) dx = +\infty$
Criterio dell'assoluta convergenza: se $\int_a^{+\infty} |f(x)| dx < +\infty$ allora $\int_a^{+\infty} f(x) dx < +\infty$
Esempio di integrale improprio all'infinito
Se $a > b$, allora
$\int_a^{+\infty} \frac{1}{(x - b)^{\alpha}} \quad \{("diverge", \quad "se " \alpha \le 1),("converge", \quad "se " \alpha > 1):}
Integrali notevoli
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ (integrale di Gauss)
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = \sqrt{2 \pi}$ (integrale di Eulero)
$\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^2}{6}$
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx = \pi$
$\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{\sin(x)}{x})^3 dx = \frac{3}{4} \pi$
$\int_{-\infty}^{+\infty} \cos(x^2) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \sin(x^2) dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ (integrale di Fresnel)
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