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Formulario Inversa di una matrice
| Inversa di una matrice | di Gianni Sammito |
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Se $A$ è una matrice quadrata di ordine $n \times n$, ed esiste una matrice $B$ tale che $AB = I$, si dice che $B$ è l'inversa di $A$, e si scrive $B = A^{-1}$. Calcolo dell'inversa
Se $A$ è una matrice quadrata, e $\det(A) \ne 0$, la matrice inversa è data da
$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} M^T$
$M$ viene detta matrice dei complementi algebrici, dato che l'elemento di posto $ij$ di $M$ coincide con il complemento algebrico dell'elemento di posto $ij$ di $A$, mentre l'apice $T$ sta ad indicare l'operatore di trasposizione.
Esempio: calcolare l'inversa della matrice
$A = ((2, \quad 3, \quad 5),(1, \quad 6, \quad 1),(0, \quad 2, \quad 3))$
Il determinante di $A$ vale
$\det(A) = 2 \cdot \det((6, \quad 1),(2, \quad 3)) - \det((3, \quad 5),(2, \quad 3)) = 32 + 1 = 33$
I complementi algebrici degli elementi di $A$ valgono
$c_{11} = (-1)^{1 + 1} \cdot det((6, \quad 1),(2, \quad 3)) = 16$
$c_{12} = (-1)^{1 + 2} \cdot det((1, \quad 1),(0, \quad 3)) = -3$
$c_{13} = (-1)^{1 + 3} \cdot det((1, \quad 6),(0, \quad 2)) = 2$
$c_{21} = (-1)^{2 + 1} \cdot det((3, \quad 5),(2, \quad 3)) = 1$
$c_{22} = (-1)^{2 + 2} \cdot det((2, \quad 5),(0, \quad 3)) = 6$
$c_{23} = (-1)^{2 + 3} \cdot det((2, \quad 3),(0, \quad 2)) = -4$
$c_{31} = (-1)^{3 + 1} \cdot det((3, \quad 5),(6, \quad 1)) = -27$
$c_{32} = (-1)^{3 + 2} \cdot det((2, \quad 5),(1, \quad 1)) = 3$
$c_{33} = (-1)^{3 + 3} \cdot det((2, \quad 3),(1, \quad 6)) = 9$
Quindi la matrice inversa è
$A^{-1} = \frac{1}{33} ((16, \quad -3, \quad 2),(1, \quad 6, \quad -4),(-27, \quad 3, \quad 9))^T = \frac{1}{33} ((16, \quad 1, \quad -27),(-3, \quad 6, \quad 3),(2, \quad -4, \quad 9))$
Caso particolare: matrice $2 \times 2$
Se $A$ è una matrice quadrata di ordine $2 \times 2$ invertibile, cioè
$A = ((a, \quad b),(c, \quad d))$ con $\det(A) = ad - bc \ne 0$
la matrice inversa è
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} ((d, \quad -b),(-c, \quad a))$
Come si vede in questo caso la matrice dei complementi algebrici trasposta si ottiene da $A$ scambiando gli elementi sulla diagonale principale e invertendo il segno degli altri due.
Scritto da , il 30-01-2009 10:10 Articolo molto chiaro e preciso fornito di esempi molto istruttivi. Scrivi Commento
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