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Limiti di Gianni Sammito   

Proprietà dei limiti

 

Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = l_1 \in \mathbb{R}$ e $\lim_{x \to x_0} g(x) = l_2 \in \mathbb{R}$, allora
$\lim_{x \to x_0} c \cdot f(x) = c \cdot l_1$, per ogni $c \in \mathbb{R}$
$\lim_{x \to x_0} f(x) + g(x) = l_1 + l_2$
$\lim_{x \to x_0} f(x) - g(x) = l_1 - l_2$
$\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = l_1 \cdot l_2$
$\lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l_1}$, se $l_1 \ne 0$
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{l_1}{l_2}$, se $l_2 \ne 0$
Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = l \in \mathbb{R}$ e $\lim_{x \to x_0} g(x) = \pm\infty$, allora
$\lim_{x \to x_0} f(x) + g(x) = \pm\infty$
$\lim_{x \to x_0} f(x) - g(x) = \mp\infty$
Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = \pm \infty$, allora
$\lim_{x \to x_0} f(x) + g(x) = \pm \infty$
$\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = +\infty$
Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = l \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ e $\lim_{x \to x_0} g(x) = \pm \infty$, allora
$\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = \{(\pm \infty, " se "l > 0),(\mp \infty, " se " l < 0):}$
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$
Se $\lim_{x \to x_0} f(x)$ non esiste, ma $f(x)$ è una funzione limitata, e se $\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$, allora
$\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = 0$
Se $\lim_{x \to x_0} f(x)$ non esiste, ma $f(x)$ è una funzione limitata, e se $\lim_{x \to x_0} g(x) = \pm \infty$, allora
$\lim_{x \to x_0} f(x) + g(x) = \pm \infty$
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ 

 

Tavola dei limiti notevoli

 

Razionali

 

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \ldots + b_0} = \{(+\infty, " se " n > m " e " \frac{a_n}{b_m} > 0),(-\infty, " se " n > m " e " \frac{a_n}{b_m} < 0),(\frac{a_n}{b_m}, " se " n = m),(0, " se " n < m):}$

 

Esponenziali e logaritmici

$\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$  $\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$  $\lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{a}{x})^{x} = e^{a}$ 
$\lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{a}{x})^{nx} = e^{na} $\lim_{x \to \pm\infty} (1 - \frac{1}{x})^x = \frac{1}{e}$  $\lim_{x \to 0} (1 + ax)^{\frac{1}{x}} = e^a$ 
$\lim_{x \to 0} \log_{a} ((1 + x)^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{\log_{e}(a)}$
 $\lim_{x \to 0} \frac{\log_{a} (1 + x)}{x} = \frac{1}{\log_{e}(a)}$  $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a)$, $\forall a \in \mathbb{R}^+$
$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^a - 1}{x} = a$
 $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^a - 1}{ax} = 1$  $\lim_{x \to 0} x^b \log_{a}(x) = 0$, $\forall b \in \mathbb{R}^+$ 
$\lim_{x \to 0} \frac{\log_{a}(x)}{x^b} = +\infty$, $\forall b \in \mathbb{R}^+$, con $0 < a < 1$
 $\lim_{x \to 0} \frac{\log_{a}(x)}{x^b} = -\infty$, $\forall b \in \mathbb{R}^+$, con $a > 1$
$\lim_{x \to +\infty} a^x = 0$, $\forall a \in (0,1)$ 
$\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$, $\forall a \in (1, +\infty)$  $\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty$, $\forall a \in (0,1)$ $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$, $\forall a \in (1, +\infty)$ 
$\lim_{x \to +\infty} x^b a^x = \lim_{x \to +\infty} a^x$, $\forall b \in \mathbb{R}^+$, $\forall a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$
$\lim_{x \to -\infty} |x|^b a^x = \lim_{x \to -\infty} a^x$, $\forall b \in \mathbb{R}^+$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{a^x}{x^b} = \lim_{x \to +\infty} a^x$, $\forall b \in \mathbb{R}^+$, $\forall a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ 
$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^b}{a^x} = \lim_{x \to -\infty} a^x$, $\forall b \in \mathbb{R}^+$, $\forall a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ $\lim_{x \to -\infty} e^x x^b = 0$, $\forall b \in \mathbb{R}^+$
 

Goniometrici e iperbolici

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$  $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b}$  $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b}$ 
$\lim_{x \to 0} \frac{"tg"(x)}{x} = 1$ $\lim_{x \to 0} \frac{"tg"(ax)}{bx} = \frac{a}{b}$  $\lim_{x \to 0} \frac{"tg"(ax)}{"tg"(bx)} = \frac{a}{b}$ 
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x} = 0$
 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$  $\lim_{x \to 0} \frac{"arcsin"(x)}{x} = 1$ 
$\lim_{x \to 0} \frac{"arcsin"(ax)}{bx} = \frac{a}{b}$
 $\lim_{x \to 0} \frac{"arcsin"(ax)}{"arcsin"(bx)} = \frac{a}{b}$  $\lim_{x \to 0} \frac{"arctg"(x)}{x} = 1$ 
$\lim_{x \to 0} \frac{"arctg"(ax)}{bx} = \frac{a}{b}$
 $\lim_{x \to 0} \frac{"arctg"(ax)}{"arctg"(bx)} = \frac{a}{b}$  $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh(x)}{x} = 1$ 
$\lim_{x \to 0} \frac{"settsinh"(x)}{x} = 1$
 $\lim_{x \to 0} \frac{"tgh"(x)}{x} = 1$  $\lim_{x \to 0} \frac{"setttgh"(x)}{x} = 1$ 
$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} = \frac{1}{6}$  $\lim_{x \to 0} \frac{x - "arctg"(x)}{x^3} = \frac{1}{3}$   

 

Link utili

http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_dei_limiti_notevoli

http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Limiti/Indice_limiti.htm

Esercizi svolti sui limiti

Appunti di analisi

Studio di funzione

 




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