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Formulario Numeri complessi
| Numeri complessi | di Gianni Sammito |
Definizione
L'insieme dei numeri complessi è definito come l'insieme di tutte le coppie di numeri reali, ossia
$\mathbb{C} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$
Su $\mathbb{C}$ sono definite due operazioni interne, un'operazione di somma e un'operazione di prodotto, che agiscono nel modo seguente
$(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) \quad \forall (a,b), (c,d) \in \mathbb{C}$
$(a,b) \cdot (c,d) = (a \cdot c - b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c) \quad \forall (a,b), (c,d) \in \mathbb{C}$
Da notare che $(0,0)$ è l'elemento neutro rispetto alla somma e che $(1,0)$ lo è rispetto al prodotto. Inoltre $(0,1) \cdot (0,1) = (-1,0)$. L'insieme $\mathbb{C}$, munito di queste due operazioni, è un campo. Forma algebrica dei numeri complessi
Posto $1 =_{def} (1,0)$ e $i =_{def} (0,1)$, ogni numero complesso $(a,b)$ si può esprimere in forma algebrica così come segue
$(a,b) =_{def} a + ib$
Il numero reale $a$ si chiama parte reale, mentre il numero reale $b$ si chiama parte immaginaria. Il numero complesso $i$ viene detto unità immaginaria, e secondo la definizione risulta $i^2 = -1$. Le operazioni di somma e prodotto si estendono naturalmente ai numeri complessi espressi in forma algebrica
$(a + ib) + (c + id) = a + ib + c + id = a + c + i(b + d)$
$(a + ib) \cdot (c + id) = a c + i a d + i b c + i^2 b d = a c - bd + i (a d + b c)$
Complesso coniugato
Dato un numero complesso $z = (a,b) = a + ib$, il suo complesso coniugato è $\bar{z} = (a, -b) = a - ib$.
Modulo e fase
Dato un numero complesso $z = a + ib$, si definisce modulo di $z$ la quantità $M = \sqrt{a^2 + b^2}$, si definisce invece fase, o argomento, di $z$, la quantità
$\theta = \{("arctg"(\frac{b}{a}), \quad "se " a > 0),("arctg"(\frac{b}{a}) - \pi, \quad "se " a < 0 " e " b < 0),("arctg"(\frac{b}{a}) + \pi, \quad "se " a < 0 " e " b > 0),(\frac{\pi}{2}, \quad "se " a = 0 " e " b > 0),(-\frac{\pi}{2}, \quad "se " a = 0 " e " b < 0),(-\pi, \quad "se " a < 0 " e " b = 0):}$
Rappresentazione in forma trigonometrica
Ogni numero complesso $z = a + ib$ può essere espresso in modulo e fase, così come segue
$z = M (\cos(\theta) + i \sin(\theta))$
Si noti che in questa rappresentazione il complesso coniugato si scrive come $\bar{z} = M (\cos(\theta) - i \sin(\theta))$. Formula di Eulero
Tramite gli sviluppi in serie di Taylor di seno, coseno e esponenziale si dimostra la seguente formula di Eulero
$e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta) \quad \forall \theta \in \mathbb{R}$
Di conseguenza seno e coseno possono essere espressi con esponenziali complessi nel modo seguente
$\cos(\theta) = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2}$
$\sin(\theta) = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i}$
Rappresentazione in forma esponenziale
Ogni numero complesso $z = a + ib$, con modulo $M$ e fase $\theta$, può essere espresso in forma esponenziale nel modo seguente
$z = M e^{i \theta}$
Si noti che in questa forma il complesso coniugato si scrive come $\bar{z} = M e^{-i \theta}$. Formule di De Moivre
Dati due numeri complessi, $z_1 = M_1 (\cos(\theta_1) + i \sin(\theta_1))$ e $z_2 = M_2 (\cos(\theta_2) + i \sin(\theta_2))$, valgono le seguenti formule di De Moivre
$z_1 \cdot z_2 = M_1 M_2 (\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2))$
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{M_1}{M_2} (\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2))$ con $z_2 \ne 0$
In particolare, indicando con $|\cdot|$ il modulo di un numero complesso e con $"arg"(\cdot)$ la fase, risulta
$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
$|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$
$"arg"(z_1 \cdot z_2) = "arg"(z_1) + "arg"(z_2)$
$"arg"(\frac{z_1}{z_2}) = "arg"(z_1) - "arg"(z_2)$
Dato $z \in \mathbb{C}$, detto $M$ il suo modulo e $\theta$ la sua fase, risulta
$z^n = M^n (\cos(n \theta) + i \sin(n \theta))$
Radici $n$-esime
Dato un numero complesso $w$, si dice che $z$ è la radice $n$-esima di $w$ se e solo se $z^n = w$. Se $w \ne 0$, allora esistono esattamente $n$ radici $n$-esime di $w$. Dette $z_1, z_2, \ldots, z_n$ tali radici, e posto $w = M (\cos(\theta) + i \sin(\theta))$, risulta
$z_k = M_k (\cos(\theta_k) + i \sin(\theta_k))$
con
$M_k = M^{\frac{1}{n}}$
$\theta_k = \frac{\theta + 2 k \pi}{n}$
per ogni $k = 0, 1, \ldots, n-1$.
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Scritto da , il 08-09-2010 23:28 molto utile.. grazie infinite ho trovato una cosa che cercavo da un sacco di tempo!! Scrivi Commento
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