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Formulario Potenza di una matrice
| Potenza di una matrice | di Gianni Sammito |
Definizione
Data una matrice $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, la potenza $k$-esima di $A$ ($k \in \mathbb{N}$), è definita ricorsivamente così come segue
$A^k = \{(I, \quad "se " k = 0),(A^{k-1} \cdot A, \quad "se " k > 0):}$
Potenza di una matrice diagonalizzabile
Se $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ è una matrice diagonalizzabile, il calcolo della potenza $k$-esima $A^k$ può essere effettuato senza bisogno di ricorrere alla definizione. Detta $T$ la matrice del cambio di coordinate, risulta
$A = T \Lambda T^{-1}$
dove $\Lambda$ è una matrice in forma diagonale se tutti gli autovalori di $A$ sono reali, mentre è in forma daigonale reali a blocchi se $A$ ammette autovalori complessi. In entrambi i casi la potenza $k$-esima di $A$ vale
$A^k = T \Lambda^k T^{-1}$
Nel caso di matrici diagonalizzabili dunque è sufficiente calcolare, oltre alla matrice del calcolo di coordinate, la potenza della matrice diagonalizzata, e tale calcolo è relativamente semplice.
Nel calcolo di $\Lambda^k$ si distinguono i casi in cui $\Lambda$ è una matrice in forma diagonale da quello in cui $\Lambda$ è in forma diagonale reale a blocchi.
$A$ ha tutti gli autovalori reali
Se la matrice $A$ ha tutti gli autovalori reali, e questi sono pari a $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_n$, ed inoltre se $T$ è la matrice del cambio di coordinate, allora
$A = T \Lambda T^{-1}$
dove
$\Lambda = ((\lambda_{1}, \quad 0, \ldots, 0),(0, \lambda_{2}, \quad \ldots, 0),(\vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots),(0, \quad 0, \quad \ldots, \quad \lambda_n))$
La potenza $k$-esima di $\Lambda$ è banalmente la matrice ottenuta calcolando la potenza $k$-esima degli elementi sulla diagonale principale
$\Lambda^k = ((\lambda_{1}^k, \quad 0, \ldots, 0),(0,
\lambda_{2}^k, \quad \ldots, 0),(\vdots, \quad \vdots, \quad \ddots,
\quad \vdots),(0, \quad 0, \quad \ldots, \quad \lambda_n^k))$
Pertanto, in questo caso, la potenza $k$-esima di $A$ vale
$A^k = T \Lambda^k T^{-1}$
$A$ ha almeno un autovalore complesso
Supponiamo ora che $A$ abbia autovalori complessi, e che i suoi autovalori siano $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{r}, \lambda_{r+1}, \bar{\lambda_{r+1}}, \lambda_{r+2}, \bar{\lambda_{r+2}}, \ldots, \lambda_{c}, \bar{\lambda_{c}}$, dove i primi $r$ sono reali, i restanti sono complessi. Scriviamo ogni autovalore complesso con parte immaginaria positiva come
$\lambda_i = \sigma_i + i \omega_i$
Se $T$ è la matrice del cambio di coordinate, allora $A = T \Lambda T^{-1}$, dove $\Lambda$ è una matrice in forma diagonale reale a blocchi, della forma
$\Lambda = [(\lambda_1, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 0),(0, \quad \lambda_2, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 0),(\vdots, \quad 0, \quad \ddots, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad 0, \quad \lambda_{r}, 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad 0, \quad \sigma_{r+1}, \quad \omega_{r+1}, \quad 0, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad -\omega_{r+1}, \quad \sigma_{r+1}, \quad 0, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad 0, \quad \ddots, \quad 0, \quad 0),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots, \quad \sigma_c, \quad \omega_c),(0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 0, \quad -\omega_c, \quad \sigma_c)]$
Per ogni autovalore complesso $\lambda_i = \sigma_i + i \omega_i$ (a cui corrisponde un blocco $2 \times 2$ sulla diagonale di $\Lambda$), indichiamo con $\rho_i$ il suo modulo e con $\theta_i$ la sua fase, ossia
$\rho_i = \sqrt{\sigma_i^2 + \omega_i^2} \qquad \theta_i = "arctg"(\frac{\omega_i}{\sigma_i})$
Fatto questo si può scrivere la potenza $k$-esima di $\Lambda$, che è pari a
$\Lambda^k = [(\lambda_1^k, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 0),(0, \quad \lambda_2^k, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 0),(\vdots, \quad 0, \quad \ddots, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad 0, \quad \lambda_{r}^k, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad 0, \quad \rho_{r+1}^k \cos(k \theta_{r+1}),\quad \rho_{r+1}^k \sin(k \theta_{r+1}), \quad 0, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad -\rho_{r+1}^k \sin(k \theta_{r+1}), \quad \rho_{r+1}^k \cos(k \theta_{r+1}), \quad 0, \quad \ldots, \quad \vdots),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad 0, \quad \ddots, \quad 0, \quad 0),(\vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots, \quad \rho_{c}^k \cos(k \theta_{c}), \quad \rho_{c}^k \sin(k \theta_{c})),(0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 0, \quad -\rho_{c}^k \sin(k \theta_{c}), \quad \rho_{c}^k \cos(k \theta_{c}))]$
Una volta calcolata $\Lambda^k$ è possibile calcolare anche la potenza $k$-esima di $A$, dato che
$A^k = T \Lambda^k T^{-1}$
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