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Formulario Probabilità condizionale e indipendenza
| Probabilità condizionale e indipendenza | di Gianni Sammito |
Definizione
Dati due eventi $A, B$, si definisce probabilità condizionale di $B$ rispetto ad $A$, e si indica con $P(B | A)$, la quantità
$P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$
Intuitivamente $P(B | A)$ indica la probabilità che si verifichi $B$ sapendo che si è verificato $A$.
Probabilità dell'intersezione
Dati due eventi $A, B$, sfruttando la probabilità condizionale, la probabilità che $A$ e $B$ si verifichino entrambe vale
$P(A \cap B) = P(B | A) P(A)$ oppure $P(A \cap B) = P(A | B) P(B)$
Esempio: da un'urna con $10$ palline numerate da $1$ a $10$ si estraggono due palline senza rimpiazzo. Calcolare la probabilità che entrambe le palline abbiano numeri pari.
Sia $A_i$ l'evento "all'$i$-esima pallina estratta corrisponde un numero pari". Si vuole calcolare $P(A_1 \cap A_2) = P(A_2 | A_1) P(A_1)$
$P(A_1) = \frac{1}{2}$, dato che inizialmente ci sono tanti numeri pari quanti numeri dispari, e che sono tutti equiprobabili
$P(A_2 | A_1) = \frac{4}{9}$, dato che, se è stato estratto un numero pari, i numeri pari rimasti sono $4$, mentre le palline totali nell'urna sono $9$.
Quindi $P(A_1 \cap A_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{9}$.
Teorema di BayesTeorema di Bayes
Sia $(\Omega, \bar{A}, P)$ uno spazio di probabilità, e siano $A_1, A_2, \ldots, A_n \in \bar{A}$ eventi disgiunti tali che $A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n = \Omega$. Dato un evento $B \in \bar{A}$ risulta
$P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i) P(B | A_i)$
ed inoltre
$P(A_k | B) = \frac{P(A_k \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A_k) P(B | A_k)}{\sum_{i=1}^n P(A_i) P(B | A_i)}$, per ogni $k=1, 2, \ldots, n$ (teorema di Bayes)
Esempio: tre urne contengono $10$ palline ciascuna. Le palline nell'urna A sono
contrassegnate con i numeri che vanno dall'1 al 10, quelle nell'urna B
con i numeri che vanno dal 4 al 13, mentre quelle nell'urna C sono
numerate dal 6 al 15. Calcolare la probabilità che si sia scelta l'urna A, sapendo che è stata estratta una pallina contrassegnata con il numero 5.
Indicando con $A$, $B$, $C$, gli eventi "è stata scelta l'urna A/B/C", rispettivamente," e con $X_5$ l'evento "è stata estratta una pallina contrassegnata con il 5", la probabilità richiesta vale
$P(A | X_5) = \frac{P(X_5 \cap A)}{P(X_5)} =
\frac{P(X_5 | A) P(A)}{P(X_5 | A) P(A) + P(X_5 | B) P(B) + P(X_5 | C) P(C)}$
Considerando che l'urna $C$ non contiene palline numerate con $5$ la probabilità da calcolare diventa
$P(A | X_5) = \frac{\frac{1}{10} \cdot
\frac{1}{3}}{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{10} \cdot
\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$
Eventi indipendenti
Due eventi $A$ e $B$ si dicono indipendenti se e solo se $P(A \cap B) = P(A) P(B)$.
Se $A$ e $B$ sono indipendenti allora $P(B | A) = P(B)$, cioè il verificarsi di $A$ non dà informazioni sul verificarsi di $B$.
Esempio: calcolare la probabilità che lanciando per due volte una moneta (non truccata) si ottenga per due volte testa. Sia $A_i$ l'evento "all'$i$-esimo lancio è uscita testa", ciò che si vuole calcolare è $P(A_1 \cap A_2)$. I casi possibili sono quattro (testa-testa, testa-croce, croce-testa, croce-croce) mentre i casi favorevoli sono solo uno (testa-testa), quindi $P(A_1 \cap A_2) = \frac{1}{4}$. D'altra parte $P(A_1) = P(A_2) = \frac{1}{2}$, quindi $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) P(A_2)$ di conseguenza gli eventi $A_1$ e $A_2$ sono indipendenti (e infatti l'esito del primo lancio non può influenzare l'esito del secondo).
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