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Formulario Prodotto fra matrici
| Prodotto fra matrici | di Gianni Sammito |
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Date due matrici a coefficienti reali, $A$ di ordine $m \times p$ e $B$ di ordine $q \times n$, il prodotto (righe per colonne) $AB$ è definito solo se il numero di colonne di $A$ è uguale al numero di righe di $B$, cioè se $p = q$. In tal caso il risultato del prodotto è una matrice $C$ di ordine $m \times n$, il cui elemento di posto $ij$ è definito come il prodotto scalare canonico fra la $i$-esima riga di $A$ e la $j$-esima colonna di $B$. In formule
$c_{ij} = \sum_{s=1}^{p} a_{is} b_{sj}$
Esempio: calcolare il prodotto $AB$, dove $A = ((2, \quad 6, \quad 4),(5,\quad 9, \quad 4))$ e $B = ((8,\quad 4),(9,\quad 4),(2, \quad 0))$. $A$ è una matrice di ordine $2 \times 3$, $B$ è di ordine $3 \times 2$, pertanto la matrice risultante $C$ è di ordine $2 \times 2$.
La componente di $C$ di posto $11$ è il prodotto scalare canonico fra la prima riga di $A$ e la prima colonna di $B$, quindi
$c_{11} = \langle (2, 6, 4)", " (8, 9, 2) \rangle = 2 \cdot 8 + 6 \cdot 9 + 4 \cdot 2 = 78$
La componente di $C$ di posto $12$ è il prodotto scalare canonico fra la prima riga di $A$ e la seconda colonna di $B$, quindi
$c_{11} = \langle (2,6, 4)", " (4, 4, 0) \rangle = 2 \cdot 4 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 0 = 32$
La componente di $C$ di posto $21$ è il prodotto scalare canonico fra la seconda riga di $A$ e la prima colonna di $B$, quindi
$c_{11} = \langle (5, 9, 4)", " (8, 9, 2) \rangle = 5 \cdot 8 + 9 \cdot 9 + 4 \cdot 2 = 129$
La componente di $C$ di posto $22$ è il prodotto scalare canonico fra la seconda riga di $A$ e la seconda colonna di $B$, quindi
$c_{11} = \langle (5, 9, 4)", " (4, 4, 0) \rangle = 5 \cdot 4 + 9 \cdot 4 + 4 \cdot 0 = 56$
Quindi la matrice $C$ è
$((78, \quad 32),(129,\quad 56))$
Trasposizione
Se $A$ è una matrice di ordine $m \times n$, allora la matrice $A^T$ ($A$ trasposta) è la matrice di ordine $n \times m$ che si ottiene scambiando le righe con le colonne.
Esempio: se $A = ((1, \quad 2, \quad 3, \quad 4),(5, \quad 6, \quad 7, \quad 8),(9, \quad 10, \quad 11, \quad 12))$ la matrice trasposta è quella che si ottiene scambiando la prima riga con la prima colonna, la seconda riga con la seconda colonna, ..., la $n$-esima riga con la $n$-esima colonna, quindi, in questo caso
$A^T = ((1, \quad 5, \quad 9),(2, \quad 6, \quad 10),(3, \quad 7, \quad 11),(4, \quad 8, \quad 12))$
Caso particolare: il trasposto di un vettore riga è il corrispondente vettore colonna, mentre il trasposto di un vettore colonna è il corrispondente vettore riga.
Matrice identità
La matrice identità (indicata con $I$) di ordine $n$ è l'elemento neutro del prodotto fra matrici, ed è una matrice quadrata di ordine $n \times n$ che ha tutti $1$ sulla diagonale principale, e zero altrove.
Proprietà del prodotto fra matrici
$(AB)C = A (BC)$ (proprietà associativa)
$A(B + C) = AB + AC$ (proprietà distributiva)
$(B + C) A = BA + CA$ (proprietà distributiva)
In generale il prodotto non è commutativo, cioè in generale non è vero che $AB = BA$. Tuttavia ci sono dei casi particolari in cui il prodotto risulta commutativo, come il seguente
$A^r A^s = A^s A^r$ $\quad \forall r, z \in \mathbb{Z}$ (le potenze di $A$ commutano)
Infine l'operatore di trasposizione rispetta questa proprietà
$(AB)^T = B^T A^T$
Caso particolare: prodotto fra vettori
Vettore riga per vettore colonna
Se $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ e $y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ sono due vettori a $n$ componenti, il prodotto fra il vettore riga $x$ e il vettore colonna $y$ coincide con il prodotto scalare canonico fra $x$ e $y$, in formule
$(x_1, x_2, \ldots, x_n) ((y_1),(y_2),(\vdots),(y_n)) = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \ldots + x_n y_n$
Se $x$ è un vettore riga, il corrispondente vettore colonna si indica con $x^T$ (trasposto), così come se $x$ è un vettore colonna allora il corrispondente vettore riga si indica con $x^T$.
Vettore colonna per vettore riga
Se $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ e $y = (y_1, y_2,
\ldots, y_n)$ sono due vettori a $n$ componenti, il prodotto fra il
vettore colonna $x$ e il vettore riga $y$ coincide con la matrice di ordine $n \times n$ in cui la componente di posto $ij$ è data dal prodotto fra la $i$-esima componente di $x$ e la $j$-esima componente di $y$, in formule
$((x_1),(x_2),(\vdots),(x_n)) (y_1, y_2, \ldots, y_n) = ((x_1 y_1, \quad x_2 y_1, \quad \ldots, \quad x_n y_1),(x_1 y_2, \quad x_2 y_2, \quad \ldots, \quad x_n y_2),(\vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots),(x_1 y_n, \quad x_2 y_n, \quad \ldots, \quad x_n y_n))$
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