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Formulario Prodotto scalare
| Prodotto scalare | di Gianni Sammito |
Definizione e proprietà
Dato uno spazio vettoriale $V$ su campo $K$, un prodotto scalare è una qualsiasi funzione $f: V \times V \to K$ che rispetta le seguenti proprietà
1) Linearità rispetto alla prima componente:
$f(v_1 + v_2, w) = f(v_1, w) + f(v_2, w) \quad \forall v_1, v_2, w \in V$
2) Omogeneità rispetto alla prima componente:
$f(\lambda v, w) = \lambda \cdot f(v,w) \quad \forall v, w \in V \quad \forall \lambda \in K$
3) Simmetria hermitiana (il soprassegno indica il complesso coniugato):
$f(v,w) = \bar{f(w,v)} \quad \forall v, w \in V$
4) Definita positività di $f(v,v)$ ($O$ è il vettore nullo di $V$):
$f(v,v) \ge 0 \quad \forall v \in V$
$f(v,v) = 0 \iff v = O$
Nel caso particolare di $K = \mathbb{R}$ la proprietà 3) si riduce a $f(v,w) = f(w,v)$ (simmetria), e in tal caso il prodotto scalare risulta simmetrico e bilineare (cioè lineare rispetto ad entrambe le componenti).
Nota: le proprietà 1) - 3) definiscono un funzionale sesquilineare.
Prodotto scalare canonico in $\mathbb{C}^n$
Un particolare prodotto scalare definito in $\mathbb{C}^n$ è il prodotto scalare canonico. Dati due vettori $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ e $y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ di $\mathbb{C}^n$, il prodotto scalare canonico fra $x$ e $y$ si indica con $\langle x, y \rangle$ e vale
$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i \bar{y_i} = x_1 \bar{y_1} + x_2 \bar{y_2} + \ldots + x_n \bar{y_n}$
Prodotto scalare canonico in $\mathbb{R}^n$
Anche in
$\mathbb{R}^n$ si definisce un prodotto scalare canonico, ed è del tutto analogo al precedente. Dati due vettori $x =
(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ e $y = (y_1, y_2,
\ldots, y_n)$ di $\mathbb{R}^n$, il prodotto scalare canonico fra $x$ e
$y$ si indica con $\langle x, y \rangle$ e vale
$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \ldots + x_n y_n$
Si può facilmente osservare come in questo secondo caso il prodotto scalare sia commutativo e bilineare.
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