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Formulario Serie
| Serie | di Gianni Sammito |
Definizione
Data una successione $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ si chiama serie dei termini $a_n$ la scrittura formale
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$
Definiamo una seconda successione (delle somme parziali) $\{s_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ nel modo seguente:
$s_0 = a_0 \qquad s_1 = a_0 + a_1 \qquad \ldots \qquad s_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n \qquad \ldots$
Per comodità si scrive $s_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n = \sum_{k=0}^n a_k$. La serie definita precedentemente converge, diverge, è irregolare se e solo se la successione $s_n$ converge, diverge, è irregolare, rispettivamente. In particolare, se $s_n$ converge risulta
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n a_k = \lim_{n \to +\infty} s_n = "somma della serie"$
Condizione necessaria per la convergenza
Condizione necessaria affinché la serie $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ converga è che $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$.
Esempio: la serie $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{n+1}$ non converge, perché $\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1} = 1 \ne 0$.
Serie a termini non negativi
Per le serie a termini non negativi valgono i seguenti criteri di convergenza.
Criterio del confronto
Date due serie a termini non negativi $\sum_{n = 0}^{+\infty} a_n$ e $\sum_{n = 0}^{+\infty} b_n$, se $a_n \le b_n$ definitivamente, allora
$\sum_{n=0}^{+\infty} b_n " è convergente " \implies \sum_{n=0}^{+\infty} a_n " è convergente"$
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n " è divergente " \implies \sum_{n=0}^{+\infty} b_n " è divergente"$
Esempio: risulta $\frac{\ln(n)}{n^3} \le \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2} \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$. Dato che $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ converge (è una serie armonica con esponente maggiore di uno), allora $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln(n)}{n^3}$ converge per il criterio del confronto.
Criterio del confronto asintotico
Date due serie a termini non negativi $\sum_{n = 0}^{+\infty} a_n$ e $\sum_{n = 0}^{+\infty} b_n$, se $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ allora
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n " è convergente " \iff \sum_{n=0}^{+\infty} b_n " è convergente"$
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n " è divergente " \iff \sum_{n=0}^{+\infty} b_n " è divergente"$
Esempio: dato che $\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^4 + 1}} = 1$, e dato che $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ converge, allora $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{n^4 + 1}$ converge per il criterio del confronto asintotico.
Criterio della radice
Data una serie a termini non negativi $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$, se $\lim_{n \to +\infty} \root{n}{a_n} = l \in \mathbb{R}$, allora
- se $l > 1$ la serie diverge
- se $l < 1$ la serie converge
- se $l=1$ nulla si può dire sul carattere della serie
Esempio: la serie $\sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{1}{2})^n$ converge per il criterio della radice, dal momento che $\lim_{n \to +\infty} \root{n}{(\frac{1}{2})^n} = \frac{1}{2} < 1$
Criterio del rapporto
Data una serie a termini non negativi $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$, se $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n +1}}{a_n}= l \in \mathbb{R}$, allora
- se $l > 1$ la serie diverge
- se $l < 1$ la serie converge
- se $l=1$ nulla si può dire sul carattere della serie
Esempio: per studiare la convergenza di $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n}{n!}$ si può usare il criterio del rapporto. Vale $\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n!}{(n+1)!} \frac{2^{n+1}}{2^n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} \cdot 2 = 0 < 1$, quindi la serie converge per il criterio del rapporto.
Serie armonica
La serie armonica $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$ converge se e solo se $\alpha > 1$, diverge se e solo se $\alpha \le 1$.
Serie a termini di segno variabile
Per le serie a termini di segno variabile si possono sfruttare i seguenti criteri.
Assoluta convergenza
Data una serie a termini di segno variabile $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$, se $\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|$ converge, allora converge anche la serie iniziale. Notare che $\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|$ è una serie a termini non negativi, pertanto si possono applicare i criteri precedenti.
Esempio: studiare la convergenza di $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(n)}{n^2}$. Vale $|\frac{\sin(n)}{n^2}| = \frac{|\sin(n)|}{n^2} \le \frac{1}{n^2}$ per ogni $n \in \mathbb{N}$. Quindi $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\sin(n)|}{n^2}$ converge per il criterio del confronto, mentre la serie iniziale converge per il criterio della convergenza assoluta.
Criterio di Leibniz (valido solo per le serie a termini di segno alternato)
Una serie a termini di segno alterno è una serie del tipo $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \cdot a_n$, dove $a_n \ge 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}$. Se
1) la successione $a_n$ è decrescente
2) risulta $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$
allora la serie converge.
Esempio: studiare la convergenza della seguente serie a termini di segno alterno, $\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n}$. La successione $a_n = \frac{1}{n}$ è decrescente, perché $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$ per ogni $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, e inoltre $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, quindi la serie converge per il criterio di Leibniz.
Serie e sommatorie notevoli
$\sum_{k=0}^n k = \frac{n (n+1)}{2}$, per ogni $n \in \mathbb{N}$
$\sum_{k=0}^n (2k + 1) = (n+1)^2$, per ogni $n \in \mathbb{N}$
$\sum_{k=0}^n q^k = \{(n, \quad "se " q = 1),(\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}, \quad "altrimenti"):}$, con $q \in \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{N}$
$\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \{(\frac{1}{1-q}, \quad "se " |q| < 1),("diverge a " +\infty, \quad "se " q \ge 1),("è indeterminata", \quad "se " q \le -1):}$ (serie geometrica)
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n (n+1)} = 1$ (serie di Mengoli)
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} - a_{n+1}$ (serie telescopica, che converge a $a_0$ se $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$)
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ (serie armonica con $\alpha = 2$)
$\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} = e$
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^{x}$, per ogni $x \in \mathbb{R}$
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} \ln^2(a) = a^x$, per ogni $a \in \mathbb{R}^+ \setminus\{1\}$ e per ogni $x \in \mathbb{R}$
$\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sin(x)$, per ogni $x \in \mathbb{R}$
$\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = \cos(x)$, per ogni $x \in \mathbb{R}$
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{4^n \cdot (n!)^2 \cdot (2n+1)} x^{2n+1} = "arcsin"(x)$, per ogni $x \in (-1,1)$
$\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1} = "arctg"(x)$, per ogni $x \in (-1, 1)$
$\sum_{n=0}^{+\infty} frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sinh(x)$, per ogni $x \in \mathbb{R}$
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = \cosh(x)$, per ogni $x \in \mathbb{R}$
$\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{(2n)!}{4^n \cdot (n!)^2 \cdot (2n+1)} x^{2n+1} = "settsinh"(x)$, per ogni $x \in (-1, 1)$
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1} = "setttgh"(x)$, per ogni $x \in (-1, 1)$
Scritto da , il 05-04-2011 10:54 Il criterio del confronto per la convergenza va assimilato al criterio del confronto? E\' in esso incluso? Scrivi Commento
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