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Formulario Serie di Fourier
| Serie di Fourier | di Gianni Sammito |
Serie di Fourier in forma di esponenziali complessi
Se $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è una funzione periodica di periodo $T$ a quadrato sommabile sul periodo, cioè $\int_0^T (f(x))^2 dx < \infty$, allora si può sviluppare in serie di Fourier mediante esponenziali complessi, nel seguente modo
$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \frac{2 \pi}{T} n x}$
dove
$c_0 = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) dx$ è il valor medio
e in generale
$c_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{- i \frac{2 \pi}{T} n x} dx$
Nota: se $x_0$ è un punto di discontinuità di salto, allora $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}
c_n e^{i \frac{2 \pi}{T} n x_0} = \frac{f(x_0^+) + f(x_0^-)}{2}$. Questo vuol dire che nei punti di
discontinuità di salto la serie di Fourier converge alla metà del salto.
Serie di Fourier trigonometrica
Se $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è
una funzione periodica di periodo $T$ a quadrato sommabile sul periodo,
cioè $\int_0^T (f(x))^2 dx < \infty$, allora si può sviluppare in
serie di Fourier trigonometrica, nel seguente modo
$f(x) =\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \cos(\frac{2 \pi}{T} n x) + b_n \sin(\frac{2 \pi}{T} n x))$
dove
$a_0 = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) dx$
e in generale
$a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos(\frac{2 \pi}{T} n x) dx$
$b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin(\frac{2 \pi}{T} n x) dx$
Nota: se $x_0$ è un punto di discontinuità di salto, allora $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}
c_n e^{i \frac{2 \pi}{T} n x_0} = \frac{f(x_0^+) + f(x_0^-)}{2}$. Questo vuol dire che nei punti di
discontinuità di salto la serie di Fourier converge alla metà del salto.
Identità di Parseval
Se $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è una funzione $T$-periodica, a quadrato sommabile sul periodo, e $f(x) =\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \cos(\frac{2 \pi}{T} n x) + b_n \sin(\frac{2 \pi}{T} n x))$ è il suo sviluppo in serie di Fourier, allora vale l'identità di Parseval
$\frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} (f(x))^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2)$
Caso particolare: funzioni $2 \pi$-periodicheCaso particolare: funzioni $2 \pi$-periodiche
Per $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ periodiche di periodo $2 \pi$ e a quadrato sommabile sul periodo, le serie di Fourier, in forma complessa e trigonometrica, assumono la seguente forma.
Serie di Fourier complessa
$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i n x}$
con
$c_0 = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$
e
$c_n = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{- i n x} dx$
Serie di Fourier in forma trigonometrica
$f(x) =\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \cos(n x) + b_n \sin(n x))$
con
$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$
e
$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n x) dx$
$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n x) dx$
Identità di Parseval
$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (f(x))^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2)$
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