Somma in $\mathbb{R}^n$ e in $\mathbb{C}^n$
Gli elementi di $\mathbb{R}^n$ (o più in generale di $\mathbb{C}^n$), possono essere rappresentati come enuple ordinate di numeri reali (rispettivamente complessi) sia come vettori riga, ad esempio
$x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$
che come vettori colonna, ad esempio
$x = ((x_1),(x_2),(\vdots),(x_n))$
La somma fra due vettori riga, o due vettori colonna, è definita come il vettore la cui $i$-esima componente è data dalla somma delle $i$-esime componenti dei due vettori considerati. In formule
$(x_1, x_2, \ldots, x_n) + (y_1, y_2, \ldots, y_n) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n)$
ed equivalentemente
$((x_1),(x_2),(\vdots),(x_n)) + ((y_1),(y_2),(\vdots),(y_n)) = ((x_1 + y_1),(x_2 + y_2),(\vdots),(x_n + y_n))$
Prodotto fra uno scalare e un vettore
Dato uno scalare $\lambda$ (cioè una costante reale o complessa) e un vettore $x \in \mathbb{R}^n$ (o $\in \mathbb{C}^n$), il prodotto $\lambda \cdot x$ è definito come il vettore la cui $i$-esima componente è data dal prodotto fra $\lambda$ e la $i$-esima componente di $x$. In formule
$\lambda \cdot x = \lambda \cdot ((x_1),(x_2),(\vdots),(x_n)) = ((\lambda \cdot x_1),(\lambda \cdot x_2),(\vdots),(\lambda \cdot x_n))$
La situazione è analoga se si considerano vettori riga anziché colonna.
Somma fra matrici
Somma fra matrici
Date due matrici $A$ e $B$ dello stesso ordine $m \times n$ a coefficienti reali (o complessi), la somma $A + B$ è data dalla matrice $C$ di ordine $m \times n$, la cui componente di posto $ij$ equivale alla somma fra la componente di posto $ij$ di $A$ e quella di posto $ij$ di $B$. In formule
se
$A = ((a_{11}, \quad a_{12}, \quad \ldots, \quad a_{1n}),(a_{21}, \quad a_{22}, \quad \ldots, \quad a_{2n}),(\vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots),(a_{m1}, \quad a_{m2}, \quad \ldots, \quad a_{mn}))$ e $B = ((b_{11}, \quad b_{12}, \quad \ldots, \quad b_{1n}),(b_{21}, \quad b_{22}, \quad \ldots, \quad b_{2n}),(\vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots),(b_{m1}, \quad b_{m2}, \quad \ldots, \quad b_{mn}))$
allora
$A + B = ((a_{11}, \quad a_{12}, \quad \ldots, \quad a_{1n}),(a_{21}, \quad a_{22}, \quad \ldots, \quad a_{2n}),(\vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots),(a_{m1}, \quad a_{m2}, \quad \ldots, \quad a_{mn})) + ((b_{11}, \quad b_{12}, \quad \ldots, \quad b_{1n}),(b_{21}, \quad b_{22}, \quad \ldots, \quad b_{2n}),(\vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots),(b_{m1}, \quad b_{m2}, \quad \ldots, \quad b_{mn})) = ((a_{11} + b_{11}, \quad a_{12} + b_{12}, \quad \ldots, \quad a_{1n} + b_{1n}),(a_{21} + b_{21}, \quad a_{22} + b_{22}, \quad \ldots, \quad a_{2n} + b_{2n}),(\vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots),(a_{m1} + b_{m1}, \quad a_{m2} + b_{m2}, \quad \ldots, \quad a_{mn} + b_{mn}))$
Prodotto fra uno scalare e una matrice
Dato uno scalare $\lambda$ (cioè una costante
reale o complessa) e una matrice $A$ di ordine $m \times n$, a coefficienti reali o complessi, il prodotto $\lambda \cdot A$ è definito come la matrice di ordine $m \times n$ la cui componente di posto $ij$ è data dal prodotto fra $\lambda$ e la componente di posto $ij$ di $A$. In formule
$\lambda \cdot A = \lambda \cdot ((a_{11}, \quad a_{12}, \quad \ldots, \quad a_{1n}),(a_{21}, \quad a_{22}, \quad \ldots, \quad a_{2n}),(\vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots),(a_{m1}, \quad a_{m2}, \quad \ldots, \quad a_{mn})) = ((\lambda \cdot a_{11}, \quad \lambda \cdot a_{12}, \quad \ldots, \quad \lambda \cdot a_{1n}),(\lambda \cdot a_{21}, \quad \lambda \cdot a_{22}, \quad \ldots, \quad \lambda \cdot a_{2n}),(\vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots),(\lambda \cdot a_{m1}, \quad \lambda \cdot a_{m2}, \quad \ldots, \quad \lambda \cdot a_{mn}))$
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