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Formulario Spazi di probabilità
| Spazi di probabilità | di Gianni Sammito |
Definizione
Se $\Omega$ è un insieme e $\bar{A}$ è l'insieme delle parti di $\Omega$, una probabilità $P$ è una funzione $P: \bar{A} \to [0,1]$ che rispetta queste proprietà
1) $P(\Omega) = 1$
2) Se $\{A_i\}_{i=1}^{+\infty}$ sono elementi di $\bar{A}$ a due a due disgiunti, cioè $A_i \cap A_j = \emptyset$, per $i \ne j$, allora
$P(\bigcup_{i=1}^{+\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{+\infty} P(A_i)$
Una terna $(\Omega, \bar{A}, P)$ è uno spazio di probabilità.
Caso particolare: equiprobabilità
Se $\Omega$ ha cardinalità finitia, pari a $n$, e gli eventi sono equiprobabili, il calcolo della probabilità di un evento $A \in \bar{A}$ si riduce a
$P(A) = \frac{"card"(A)}{"card"(\Omega)} = \frac{"card"(A)}{n}$
che intuitivamente equivale a $\frac{"numero casi favorevoli"}{"numero casi possibili"}$.
Esempio: calcolare la probabilità che, lanciando un dado, esca $1$. Vale $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, si suppongono gli eventi equiprobabili, cioè $P(\{1\}) = P(\{2\}) = P(\{3\}) = P(\{4\}) = P(\{5\}) = P(\{6\}) = p$. Dato che $P(\Omega) = 1$, $\Omega = \{1\} \cup \{2\} \cup \{3\} \cup \{4\} \cup \{5\} \cup \{6\}$, e che questi insiemi sono disgiunti, allora
$1 = P(\Omega) = P(\{1\} \cup \{2\} \cup \{3\} \cup \{4\} \cup \{5\} \cup \{6\}) = P(\{1\}) + P(\{2\}) + P(\{3\}) + P(\{4\}) + P(\{5\}) + P(\{6\} )= 6p$
Dato che $6p = 1$, allora $p = \frac{1}{6}$, quindi la probabilità che esca $1$ (così come quella che un altro numero compreso fra $2$ e $6$) è $\frac{1}{6}$. E infatti i casi possibili sono $6$, quelli favorevoli solo $1$.
Esempio: calcolare la probabilità di fare terno al lotto (giocando cinque numeri). I casi possibili sono tutte le possibili cinquine che si possono ottenere estraendo numeri compresi fra $1$ e $90$, cioè $C_{90, 5} = ((90),(5)) = \frac{90!}{5! 85!}$. I casi favorevoli sono tutti i casi in cui esce una cinquina contenente i tre numeri giocati. Dato che tre numeri sono fissati i casi favorevoli sono $C_{87, 2} = ((87),(2)) = \frac{87!}{2! 85!}$. La probabiliyà richiesta quindi vale
$\frac{C_{87, 2}}{C_{90, 5}} = \frac{5! 87!}{2 \cdot 90!}$
Proprietà
$P(A^c) = 1 - P(A)$
$P(A) = 1 - P(A^c)$
$P(\emptyset) = 0$ (dato che $\emptyset = \Omega^c$ e $P(\Omega) = 1$)
$P(\bigcup_{i=1}^{+\infty} A_i) = 1 - P(\bigcap_{i=1}^{+\infty} A_i^c)$
$P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap A^c)$
Se $A \subseteq B$, allora
$P(A) \le P(B)$
Se $A$ e $B$ sono due insiemi disgiunti, cioè $A \cap B = \emptyset$, allora
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
Se invece $A$ e $B$ non sono disgiunti vale
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = P(A) + P(B \cap A^c)$
Nota
$P(A \cup B)$ indica la probabilità che si verifichi almeno uno fra gli eventi $A$ e $B$
$P(A \cap B)$ indica la probabilità che gli eventi $A$ e $B$ si verifichino entrambi
$P(A^c)$ indica la probabilità che l'evento $A$ non si verifichi
Esempio: calcolare la probabilità di ottenere almeno un $6$ lanciando tre volte un dado. Sia $A_i$ l'evento "al lancio $i$-esimo esce $6$", quindi la probabilità richiesta vale
$P(A_1 \cup A_2 \cup A_3)$
ed equivale a
$1 - P(A_1^c \cap A_2^c \cap A_3^c)$
Il complementare di $A_i$ è $A_i^c$ ed indica l'evento "al lancio $i$-esimo non esce $6$", pertanto l'evento $A_1^c \cap A_2^c \cap A_3^c$ equivale a "in tre lanci non esce mai $6$". In quest'ultimo evento i casi possibili sono $6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3$, quelli favorevoli sono $5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$, quindi
$P(A_1^c \cap A_2^c \cap A_3^c) = (\frac{5}{6})^3$
pertanto la probabilità richiesta vale
$1 - P(A_1^c \cap A_2^c \cap A_3^c) = 1 - (\frac{5}{6})^3$
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