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Formulario Spazi vettoriali
| Spazi vettoriali | di Gianni Sammito |
Definizione e proprietà
Dato un campo $K$, un insieme $V$, dotato di due operazioni
$V \times V \to V: (v_1, v_2) \mapsto v_1 + v_2$ (somma fra vettori)
$K \times V \to V: (\lambda, v) \mapsto \lambda \cdot v$ (prodotto per scalare)
si dice spazio vettoriale su $K$ se e solo se sono soddisfatte le seguenti proprietà
1) la somma è commutativa: $v_1 + v_2 = v_2 + v_1 \quad \forall v_1, v_2 \in V$
2) la somma è associativa: $(v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3) \quad \forall v_1, v_2, v_3 \in V$
3) esiste in $V$ l'elemento neutro rispetto alla somma, detto vettore nullo e indicato con $O$: $v + O = v \quad \forall v \in V$
4) per ogni elemento $v \in V$, esiste un elemento opposto, $-v \in V$, tale che se sommato a $v$ si ottiene il vettore nullo: $\forall v \in V \quad \exists (-v) \in V: \quad v + (-v) = O$
5) per ogni $v, w \in V$, e per ogni $\lambda, \mu \in K$, il prodotto per scalare rispetta le seguenti proprietà
$(\lambda \mu) v = \lambda (\mu v)$ (il prodotto è associativo)
$(\lambda + \mu) v = \lambda v + \mu v$
$\lambda (v + w) = \lambda v + \lambda w$ (distributività della somma rispetto al prodotto)
$1 \cdot v = 1$ (elemento neutro rispetto al prodotto)
Esempi di spazi vettoriali
1) l'insieme $\mathbb{R}^n$, munito delle usuali operazioni di somma fra vettori e prodotto per scalare, è uno spazio vettoriale su campo $\mathbb{R}$
2) l'insieme $\mathbb{C}^n$, munito delle usuali operazioni di somma fra vettori e prodotto per scalare, è uno spazio vettoriale, e può essere considerato tale sia su $\mathbb{R}$ che su $\mathbb{C}$
3) l'insieme delle matrici di ordine $m \times n$ a coefficienti reali, denotato con $\mathbb{R}^{m \times n}$, munito dell'usuale somma fra matrici e del prodotto righe per colonne è uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$
4) l'insieme delle funzioni reali definite su $[a,b]$, munito delle usuali operazioni di somma e prodotto, definite come
$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$
$(\lambda \cdot f)(x) = \lambda \cdot f(x)$
è uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$
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