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Formulario Studio di funzione
| Studio di funzione | di Gianni Sammito |
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Vengono riportati di seguito i principali passi da seguire per tracciare il grafico di una funzione (reale) in una variabile (reale).
Dominio
Molte volte una funzione viene assegnata solo mediante un'espressione analitica. In questa situazione è necessario determinare il dominio massimale della funzione, ossia il più grande sottoinsieme di $\mathbb{R}$ in cui tale espressione non perde di significato. Nella tabella seguente sono riportati i domini massimali delle principali funzioni elementari.
Esempi
Il dominio massimale della funzione $f(x) = \sqrt{x - 1}$ è $"dom"(f) = \{x \in \mathbb{R}: x \ge 1\}$.
Il dominio massimale della funzione $g(x) = \frac{1}{x}$ è $"dom"(g) = {x \in \mathbb{R}: x \ne 0\}$.
Il dominio massimale della funzione $f(x) = \log(1 - x^2)$ si determina risolvendo la disequazione $1 - x^2 > 0$, la cui soluzione è $-1 < x < 1$. Quindi $"dom"(f) = \{x \in \mathbb{R}: -1 < x < 1\}$.
Simmetrie
Una funzione $f$, definita su un dominio simmetrico rispetto all'origine, si dice pari se e solo se risulta $f(-x) = f(x)$ per ogni $x \in "dom"(f)$. Una funzione $f$, definita su un dominio simmetrico rispetto all'origine, si dice dispari se e solo se risulta $f(-x) = -f(x)$ per ogni $x \in "dom"(f)$.
Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse $y$, mentre il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine. Da questo si deduce che per tracciare il grafico di una funzione a simmetria pari, o dispari, è sufficiente studiarlo per le $x$ positive del dominio, estendendolo poi per simmetria alle $x$ negative del dominio.
Ovviamente non è detto che ogni funzione sia pari o dispari, ci sono funzioni che non sono né pari né dispari. Ad esempio una funzione con un dominio non simmetrico rispetto all'origine non può essere né pari né dispari.
Proprietà
- il prodotto, o il rapporto, di due funzioni pari è una funzione pari
- il prodotto, o il rapporto, di due funzioni dispari è una funzione pari
- il prodotto, o il rapporto, di una funzione pari con una funzione dispari è una funzione dispari
- la somma di due funzioni pari è una funzione pari
- la somma di due funzioni dispari è una funzione dispari
- la somma di una funzione pari con una dispari è una funzione, in generale, né pari né dispari
Esempi
la funzione $f(x) = x^2$ è pari, infatti $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$
la funzione $f(x) = x^3$ è dispari, infatti $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$
la funzione $f(x) = e^{-x^2}$ è pari, infatti $f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x)$
la funzione $f(x) = x \cdot \ln(x^2)$ è dispari, infatti $f(-x) = (-x) \cdot \ln((-x)^2) = -x \cdot \ln(x^2) = -f(x)$
la funzione $f(x) = e^x$ non è né pari né dispari, infatti $f(-x) = e^{-x}$, ma $e^{-x} \ne f(x)$ e $e^{-x} \ne -f(x)$
Come si può vedere i grafici delle funzioni pari sono simmetrici rispetto all'asse delle $y$, i grafici delle funzioni dispari sono simmetrici rispetto all'origine, l'ultimo grafico, relativo ad una funzione né pari né dispari, non presenta simmetrie.
Periodicità
Una funzione $f$ si dice periodica di periodo $T$ se e solo se $f(x + T) = f(x)$ per ogni $x \in "dom"(f)$. Il grafico di una funzione periodica è dato dalla ripetizione del grafico relativo ad un singolo periodo. Sono periodiche, ad esempio, le funzioni goniometriche e alcune funzioni ottenute per composizione di funzioni goniometriche.
Esempio: $f(x) = \sin(x) \cos(2x)$ è una funzione periodica di periodo $2 \pi$
Intersezione con gli assi
Data una funzione $f$, se $0$ appartiene al dominio allora il grafico di $f$ interseca l'asse $y$ nel punto $(0, f(0))$. Le intersezioni con l'asse $y$ possono essere al massimo una.
Per determinare le (eventuali) intersezioni con l'asse $x$ è sufficiente risovlere l'equazione $f(x) = 0$. Se $x_1, x_2, \ldots, x_n$ sono le soluzioni di tale equazione, allora i punti di intersezione fra l'asse $x$ e il grafico di $f$ sono
$(x_1, 0) \qquad (x_2, 0) \qquad \ldots \qquad (x_n, 0)$
Esempio: la funzione $f(x) = \sin(x)$ interseca l'asse $y$ in $(0, \sin(0))$, cioè $(0,0)$, e interseca l'asse $x$ nei punti $(k \pi, 0)$, con $k \in \mathbb{Z}$. Infatti le soluzioni di $\sin(x)$ sono date da $x = k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}$.
 Studio del segno
Studiare il segno di una funzione $f$ significa risolvere la disequazione $f(x) \ge 0$. In questo modo negli intervalli in cui la disequazione è soddisfatta la funzione è positiva, ossia il grafico si trova nel semipiano $y \ge 0$, mentre negli intervalli (contenuti nel dominio) in cui la disequazione non è soddisfatta la funzione è negativa, ed il grafico si trova nel semipiano $y < 0$.
Esempio: la funzione $f(x) = \frac{x-1}{x-2}$ è positiva (o meglio, non negativa) per $x \le 1 \quad \vee \quad x > 2$, mentre è negativa per $1 < x < 2$.
 Asintoti verticaliAsintoti verticali
Quando una funzione ammette limite $+\infty$ o $-\infty$ in un punto $x_0$, si dice che essa ha come asintoto verticale la retta $x = x_0$.
Più precisamente, data una funzione $f$, se $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty$ (o $-\infty)$, allora la retta $x = x_0$ è un asintoto verticale sinistro; se $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty$ (o $-\infty)$, allora la retta $x = x_0$ è un asintoto verticale destro; se $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$ (o $-\infty)$, allora la retta $x = x_0$ è un asintoto verticale (sia destro che sinistro). In sostanza si determina l'esistenza di asintoti verticali calcolando i limiti (della funzione) per i punti appartenenti alla frontiera del dominio.
Notare che il grafico di una funzione non può intersecare in nessun punto gli asintoti verticali.
Esempio
Data la funzione $f(x) = \ln(x)$, la retta $x = 0$ è un asintoto verticale destro, infatti $\lim_{x \to 0^+) \ln(x) = -\infty$.
Data la funzione $g(x) = \frac{1}{(x-1)^2)$, la retta $x=1$ è un asintoto verticale (destro e sinistro), infatti $\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty$.
 Asintoti orizzontaliAsintoti orizzontali
Data una funzione $f$, per determinare l'esistenza di eventuali asintoti orizzontali è necessario calcolare i limiti di $f$ per $x \to +\infty$ o $x \to -\infty$ (ovviamente se il dominio è superiormente o inferiormente illimitato, rispettivamente, altrimenti tali limiti non esisterebbero).
Se $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ esiste finito, e il risultato è $k_1$, allora la retta $y = k_1$ è un asintoto orizzontale destro per il grafico di $f$. Analogamente se $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ esiste finito, e il risultato è $k_2$, allora la retta $y = k_2$ è un asintoto orizzontale sinistro per il grafico di $f$.
Dopo aver trovato eventuali asintoti orizzontali, è utile calcolare le (eventuali) intersezioni del grafico della funzione con tali asintoti.
Se $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ non esistono, o sono infiniti, allora la funzione non ammette asintoti orizzontali.
Esempio: la retta $y = 0$ è un asintoto orizzontale sinistro per la funzione $f(x) = e^x$, infatti $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.
 Asintoti obliqui
Data una funzione $f$, se il limite per $x \to +\infty$ (rispettivamente $x \to -\infty$) esiste ma non è finito, ci si può chiedere se per $x \to +\infty$ (rispettivamente $x \to -\infty$) la funzione ammetta un asintoto obliquo.
Se $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m$ esiste finito e non nullo, e se $\lim_{x \to +\infty} f(x) - mx = q$ esiste finito, allora la funzione $f$ ammette per $x \to +\infty$ un asintoto obliquo di equazione $y = mx + q$.
Per $x \to -\infty$ la situazione è analoga; se $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = m$ esiste finito e non nullo, e se $\lim_{x \to -\infty} f(x) - mx = q$ esiste finito, allora la funzione $f$ ammette per $x \to-\infty$ un asintoto obliquo di equazione $y = mx + q$.
Anche in questo caso, dopo aver determinato gli eventuali asintoti obliqui, può essere utile cercare (eventuali) intersezioni fra il grafico di $f$ e tali asintoti.
Esempio: la funzione $f(x) = \frac{x^2-1}{x}$ ammette come asintoto obliquo la retta $y = x$, infatti $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1$, e $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) - x = 0$.
 Derivata prima
Una volta calcolata la derivata prima $f'(x)$, è utile classificare i punti di non derivabilità in cui la funzione è continua (punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi).
Punto angoloso: se $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ e $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ esistono finiti ma diversi, allora $(x_0, f(x_0))$ è un punto angoloso.
Flesso a tangente verticale: se $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ e $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ esistono, sono infiniti, e sono uguali, allora $(x_0, f(x_0))$ è un punto di flesso a tangente verticale e $x = x_0$ è una retta tangente al grafico di $f$ che attraversa il grafico stesso.
Cuspide: se $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ e $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ esistono, entrambi infiniti, ma diversi, allora $(x_0, f(x_0))$ è un punto di cuspide.
Fatto questo si risolve l'equazione $f'(x) = 0$, trovando così i punti critici, e si studia il segno di $f'$. Un punto critico $x_0$, in base al segno di $f'$, si può classificare nel seguente modo
- se la derivata prima è negativa in un intorno sinistro di $x_0$ e positiva in un intorno destro di $x_0$, allora $(x_0, f(x_0))$ è un punto di minimo relativo
- se la derivata prima è positiva in un intorno sinistro di $x_0$ e negativa in un intorno destro di $x_0$, allora $(x_0, f(x_0))$ è un punto di massimo relativo
- se la derivata prima assume lo stesso segno in un intorno completo di $x_0$, allora $(x_0, f(x_0))$ è un punto di flesso a tangente orizzontale
Derivata secondaDerivata seconda
Se la funzione considerata è sufficientemente regolare, è possibile calcolarne la derivata seconda, avendo così informazioni su flessi, concavità e convessità. Risolvendo l'equazione $f''(x) = 0$ si trovano i punti di flesso a tangente obliqua.
Fatto questo può essere utile studiare il segno della derivata seconda; negli intervalli in cui risulta $f''(x) > 0$ la funzione è convessa, invece negli intervalli in cui risulta $f''(x) < 0$ la funzione è concava.
Scritto da , il 19-11-2011 18:00 articolo ottimo Scritto da , il 17-11-2011 18:28 questo riassunto è fatto molto bene!!!!complimenti Scritto da , il 06-05-2010 23:24 menomale che c'è matematicamente.it :D grazie mille prof. G. Sammito un grande lavoro... chiarissimo, limpido, cristallino... Scritto da , il 13-12-2009 13:20 Grazie, sono un vecchio ingegnere, un lavoro meritorio di cultura democratica Scritto da , il 22-09-2009 11:26 schematico e intuitivo... un buon lavoro Scritto da , il 23-04-2009 09:41 questo articolo mi ha chiarito perfettamente le idee...:D Scritto da , il 11-02-2009 16:06 spettacolare Scrivi Commento
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