Trasformata di Fourier | \Pi, Trasformata, Fourier, Funzione

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Trasformata di Fourier

di Gianni Sammito

Definizione

Sia $g: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ una funzione complessa di variabile reale, se

$\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) e^{-i 2 \pi f t} dt$

converge la $g$ si dice trasformabile secondo Fourier. In tal caso il risultato dell'integrale si chiama trasformata di Fourier di $g$, e si scrive $\mathcal{F}[g(t)](f) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) e^{-i 2 \pi f t} dt$.

Condizioni sufficienti per la trasformabilità secondo Fourier

1) Se $g: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ è una funzione a quadrato sommabile, cioè $\int_{-\infty}^{+\infty} |g(t)|^2 dt < \infty$, allora $g$ è trasformabile secondo Fourier.

2) Criterio di Dirichlet:

- se $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è una funzione a modulo sommabile, cioè $\int_{-\infty}^{+\infty} |g(t)| dt < \infty$

- se in qualunque intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ la funzione $g$ ha un numero finito di discontinuità di salto

- se in qualunque intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ la funzione $g$ ha un numero finito di massimi e minimi

allora la funzione $g$ è trasformabile secondo Fourier.

Antitrasformata di Fourier

Se $G(f) = \mathcal{F}[g(t)](f)$, allora $g(t)$ è l'antitrasformata di $G(f)$, e vale

$g(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} G(f) e^{i 2 \pi f t} df$

Proprietà della trasformata di Fourier

Per semplicità notazionale, si indicherà con $G(f)$ e $H(f)$ le trasformate di Fourier di, rispettivamente, $g(t)$ e $h(t)$.

Simmetrie: trasformata di una funzione reale

Se $g(t)$ è una funzione reale, e $G(f)$ è la sua trasformata di Fourier, allora

$"Re"(G(f)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \cos(2 \pi f t) dt \qquad "Im"(G(f)) = -\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \sin(2 \pi f t) dt$

e inoltre

$"Re"(G(f)) = "Re"(G(-f))$ (la parte reale della trasformata è una funzione pari)

$"Im"(G(f)) = - "Im"(G(f))$ (la parte immaginaria della trasformata è una funzione dispari)

che equivalgono a

$G(f) = \bar{G(-f)}$ (la trasformata è una funzione complessa a simmetria hermitiana)

Dette $M(f)$ e $\theta(f)$ il modulo e la fase di $G(f)$, rispettivamente, risulta

$M(-f) = M(f)$ (il modulo è una funzione pari)

$\theta(-f) = - \theta(f)$ (la fase è una funzione dispari)

Simmetrie: trasformata di una funzione reale pari

Se $g(t)$ è una funzione reale pari, e $G(f)$ è la sua trasformata di Fourier, allora

$"Re"(G(f)) = 2 \int_{0}^{+\infty} g(t) \cos(2 \pi f t) dt \qquad "Im"(G(f)) = 0$

Quindi la trasformata di una funzione reale pari è una funzione reale pari.

Simmetrie: trasformata di una funzione reale dispari

Se $g(t)$ è una funzione reale dispari, e $G(f)$ è la sua trasformata di Fourier, allora

$"Re"(G(f)) = 0 \qquad "Im"(G(f)) = -2 \int_{0}^{+\infty} g(t) \sin(2 \pi f t) dt$

Quindi la trasformata di una funzione reale pari è una funzione immaginaria pura, e $"Im"(G(f))$ è una funzione dispari.

Linearità

$\mathcal{F}[\alpha g(t) + \beta h(t)](f) = \alpha G(f) + \beta H(f)$, per ogni $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Inversione degli assi

Se la trasformata di Fourier di $g(t)$ è $G(f)$, allora la trasformata di Fourier di $g(-t)$ è $G(-f)$

Coniugazione complessa

Se la trasformata di Fourier di $g(t)$ è $G(f)$, allora la trasformata di Fourier di $\bar{g(t)}$ (complesso coniugato di $g(t)$) è $\bar{G(-f)}$.

Teorema del valore finale

Se $g(t)$ è una funzione reale, e $G(f)$ è la sua trasformata di Fourier, allora

$\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) dt = G(0)$

Proprietà di dualità

Se $G(f)$ è la trasformata di Fourier di $g(t)$, allora la trasformata di Fourier di $G(t)$ è $g(-f)$.

Proprietà del ritardo

Se $G(f)$ è la trasformata di Fourier di $g(t)$, allora

$\mathcal{F}[g(t - t_0)](f) = G(f) e^{-i 2 \pi f t_0}$, per ogni $t_0 \in \mathbb{R}$

Traslazione in $f$

Se la trasformata di Fourier di $g(t)$ è $G(f)$, allora

$\mathcal{F}[g(t) e^{i 2 \pi f_0 t}](f) = G(f - f_0)$

Proprietà del cambiamento di scala

Se $G(f)$ è la trasformata di Fourier di $g(t)$, allora

$\mathcal{F}[g(\alpha t)](f) = \frac{1}{|\alpha|} G(\frac{f}{\alpha})$, per ogni $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Proprietà della modulazione

Se $G(f)$ è la trasformata di Fourier di $g(t)$, allora

$\mathcal{F}[g(t) \cos(2 \pi f_0 t)](f) = \frac{G(f - f_0) + G(f + f_0)}{2}$, per ogni $f_0 \in \mathbb{R}$

$\mathcal{F}[g(t) \sin(2 \pi f_0 t)](f) = \frac{G(f - f_0) - G(f + f_0)}{2i}$, per ogni $f_0 \in \mathbb{R}$

Proprietà della derivata

Se $G(f)$ è la trasformata di Fourier di $g(t)$, allora

$\mathcal{F}[\frac{d}{dt} g(t)](f) = i 2 \pi f \cdot G(f)$

Proprietà dell'integrale

Se $G(f)$ è la trasformata di Fourier di $g(t)$, allora

$\mathcal{F}[\int_{-\infty}^t g(u) du](f) = \frac{1}{i 2 \pi f} G(f) + \frac{\delta(f)}{2} G(0)$

Trasformata del prodotto

La trasformata di Fourier del prodotto ordinario di due funzioni è uguale al prodotto di convoluzione delle trasformate. Se $G(f)$ e $H(f)$ sono le trasformate di Fourier di $g(t)$ e $h(t)$, rispettivamente, allora

$\mathcal{F}[g(t) h(t)](f) = G(f) \otimes H(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} G(\nu) H(f - \nu) d \nu$

Traformata del prodotto di convoluzione

La trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione di due funzioni equivale al prodotto ordinario delle trasformate. Se $G(f)$ e $H(f)$ sono le trasformate di Fourier di $g(t)$ e $h(t)$, rispettivamente, allora

$\mathcal{F}[g(t) \otimes h(t)](f) = \mathcal{F}[\int_{-\infty}^{+\infty} g(\tau) h(t - \tau) d \tau](f) = G(f) H(f)$

Teorema di Parseval

Se $G(f)$ è la trasformata di Fourier di $g(t)$, allora

$\int_{-\infty}^{+\infty} |g(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{+\infty} |G(f)|^2 df$

Trasformata di una funzione periodica

Se $g(t)$ è una funzione periodica di periodo $T$, e $G_t(f)$ è la trasformata di Fourier della funzione $g_t(t)$ troncata sul periodo (cioè $g_t(t) = g(t)$ se $t \in [0,T]$ e $g_t(t) = 0$ se $t \notin [0, T]$), allora

$\mathcal{F}[g(t)](f) = \frac{1}{T} \sum_{k= -\infty}^{+\infty} G_t(\frac{k}{T}) e^{i \frac{2 \pi k t}{T}}$ (formula di Poisson)

Come si può vedere la formula di Poisson rende evidente il legame fra serie e trasformata di Fourier.

Trasformate di Fourier notevoli

funzione	trasformata
$1$	$\delta(f)$ (delta di Dirac)
$c$ (costante)	$c \cdot \delta(f)$
$u(t) = \{(1, \quad "se " t > 0),(\frac{1}{2}, \quad "se " t = 0),(0, "se " t < 0):}$	$\frac{1}{i 2 \pi f} + \frac{\delta(f)}{2}$
$t \cdot u(t)$	$\frac{1}{(i 2 \pi f)^2} + \frac{\delta(f)}{i 4 \pi f}$
$t^n \cdot u(t)$	$\frac{n!}{(i 2 \pi f)^{n+1}} + \frac{\delta(f) \cdot n!}{2 (i 2 \pi f)^n}$
$t$	$\frac{i}{2 \pi} \frac{d}{df} \delta(f)$
$\|t\|$	$-\frac{1}{2 \pi^2 f^2}$
$\|t^n\|$ ($n$ dispari)	$\frac{2 n!}{(i 2 \pi f)^{n+1}}$
$"sgn"(t)$ (funzione segno)	$\frac{1}{i 2 \pi f}$
$\delta(t)$	$1$
$"rect"(t) = \{(1, \quad "se " \|t\| < \frac{1}{2}),(\frac{1}{2}, \quad "se " \|t\| = \frac{1}{2}),(0, \quad "altrimenti"):}$	$"sinc"(f) = \{(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}, \quad "se " f \ne 0),(1, \quad "se " f = 0):}$
$"sinc"(t)$	$"rect"(f)$
$"tr"(t) = \{(1 - \|t\|, \quad "se " \|t\| < 1),(0, \quad "altrimenti"):}$	$"sinc"^2(f)$
$"sinc"^2(t)$	$"tr"(f)$
$\frac{1}{t}$	$-i \pi "sgn"(f)$
$\frac{1}{t^n}$ ($n$)	$\frac{(-i)^n \pi (2 \pi f)^{n-1} "sgn"(f)}{(n-1)!}$
$\sin(2 \pi f_0 t)$	$\frac{\delta(f - f_0) - \delta(f + f_0)}{2 i}$
$\cos(2 \pi f_0 t)$	$\frac{\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)}{2}$
$u(t) \cdot \sin(2 \pi f_0 t)$	$\frac{f_0}{2 \pi (f_0^2 - f^2)} + \frac{\delta(f - f_0) - \delta(f + f_0)}{4 i}$
$u(t) \cdot \cos(2 \pi f_0 t)$	$\frac{i f}{2 \pi (f_0^2 - f^2)} + \frac{\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)}{4}$
$e^{-\alpha t} u(t)$ (con $\alpha > 0$)	$\frac{1}{a + i 2 \pi f}$
$t \cdot e^{-\alpha t} u(t)$ (con $\alpha > 0$)	$\frac{1}{(a + i 2 \pi f)^2}$
$e^{-\alpha \|t\|}$ (con $\alpha > 0$)	$\frac{2 \alpha}{\alpha^2 + 4 \pi^2 f^2}$
$u(t) e^{- \alpha t} \sin(2 \pi f_0 t)$ (con $\alpha > 0$)	$\frac{2 \pi f_0}{(a + i 2 \pi f)^2 + 4 \pi^2 f_0^2}$
$u(t) e^{- \alpha t} \cos(2 \pi f_0 t)$ (con $\alpha > 0$)	$\frac{a + i 2 \pi f}{(a + i 2 \pi f)^2 + 4 \pi^2 f_0^2}$
$e^{- \frac{t^2}{2 T^2}}$	$T \sqrt{2 \pi} e^{-2 \pi^2 T^2 f^2}$
$"erf"(\alpha t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{\alpha t} e^{-y^2} dy$	$\frac{e^{- (\frac{\pi f}{\alpha})^2}}{i \pi f}$
$e^{2 \pi f_0 t}$ ($f_0 \in \mathbb{C}$)	$\delta(f + i f_0)$
$\sinh(2 \pi f_0 t)$	$\frac{1}{2} [\delta(f + i f_0) - \delta(f - i f_0)]$
$\cosh(2 \pi f_0 t)$	$\frac{1}{2} [\delta(f + i f_0) + \delta(f - i f_0)]$

Leggi l'articolo e i commenti (3)

Scritto da Andre77, il 10-09-2011 08:07

la formula di Poisson è sbagliata: al primo membro c\'è la funzione periodica, non la sua Trasformata.

Scritto da Luigi, il 01-10-2010 08:09

Si ptrebbe fare un pdf stampabile di questa pagina? Grazie!!!!

Scritto da Mario, il 11-09-2010 11:36

La trasformata di sgn(t) non dovrebbe essere = 1 / (ipif)?
con pi intendo p greco

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