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Formulario Trasformata di Laplace
| Trasformata di Laplace | di Gianni Sammito |
Definizione
Data $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, con $f(t) = 0$ per ogni $t < 0$, si chiama trasformata di Laplace (monolatera) di $f$, e si indica con $\mathcal{L}[f](s)$, la funzione definita da
$\mathcal{L}[f](s) = \int_0^{+\infty} f(t) e^{-st} dt$
dove $s \in \mathbb{C}$, purché tale integrale esista finito. L'insieme degli $s \in \mathbb{C}$ tali che l'integrale precedente esiste finito si chiama regione di convergenza. Se per un certo $\alpha \in \mathbb{R}$ l'integrale
$\int_0^{+\infty} |f(t)| e^{-\alpha t} dt$
converge, allora la trasformata di $f$ è definita per $s = \alpha + i \beta$, per ogni $\beta \in \mathbb{R}$, e la $f$ si dice trasformabile.
Ascissa di convergenza: data $f$, se esistono $\alpha, M, t_0 \in \mathbb{R}^+$, tali che $|f(t)| \le M \cdot e^{\alpha t}$, per ogni $t > t_0$, allora $\mathcal{L}[f](s)$ esiste nel semipiano complesso $"Re"(s) > \alpha$, e $\alpha$ si dice ascissa di convergenza.
Proprietà della trasformata di Laplace
Linearità
$\mathcal{L}[a f(t) + b g(t)](s) = a \mathcal{L}[f(t)](s) + b \mathcal{L}[g(t)](s)$, per ogni $a, b \in \mathbb{R}$
Trasformata della derivata
$\mathcal{L}[f'(t)](s) = s \mathcal{L}[f(t)](s) - f(0)$
$\mathcal{L}[f''(t)](s) = s^2 \mathcal{L}[f(t)](s) - s f(0) - f'(0)$
$\mathcal{L}[f^{(n)}(t)](s) = s^n \mathcal{L}[f(t)](s) - s^{n-1} f(0) - s^{n-2} f'(0) - \ldots - f^{n-1}(0)$
Trasformata dell'integrale
$\mathcal{L}[\int_0^t f(u) du](s) = \frac{1}{s} \mathcal{L}[f(t)](s)$
Moltiplicazione per $t$
$\mathcal{L}[t \cdot f(t)](s) = - \frac{d}{ds} \mathcal{L}[f(t)](s)$
Divisione per $t$
$\mathcal{L}[\frac{f(t)}{t}](s) = \int_s^{+\infty} \mathcal{L}[f(t)](u) du$
Traslazione complessa
Se $\mathcal{L}[f(t)](s) = F(s)$, allora
$\mathcal{L}[e^{at} f(t)](s) = F(s-a)$
Traslazione nel tempo
Detta $H(t)$ la funzione di Heaviside, risulta
$\mathcal{L}[f(t-a) H(t-a)](s) = e^{-as} \mathcal{L}[f(t)](s)$
Moltiplicazione per $t^n$
$\mathcal{L}[t^n f(t)](s) = (-1)^n \frac{d^n}{d s^n} (\mathcal{L}[f(t)](s))$
Prodotto di convoluzione
La trasformata di un prodotto di convoluzione equivale al prodotto ordinario delle trasformate, cioè
$\mathcal{L}[(f \otimes g)(t)](s) = \mathcal{L}[f(t)](s) \cdot \mathcal{L}[g(t)](s)$
dove $(f \otimes g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) d \tau$ denota il prodotto di convoluzione.
Trasformata di una funzione periodica
Se $f$ è una funzione periodica di periodo $T$, allora
$\mathcal{L}[f(t)](s) = \frac{1}{1 - e^{-sT}} \mathcal{L}[f_t(t)](s)$
dove $f_t(t)$ è la funzione troncata sul periodo, cioè $f_t(t) = f(t)$ se $t \in [0, T]$, e $f_t(t) = 0$ altrimenti.
Teorema del valore finale
Se $\lim_{t \to +\infty} f(t)$ e $\lim_{s \to 0} s F(s)$ esistono finiti, allora
$\lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{s \to 0} s F(s)$
Tavola delle principali trasformate di Laplace
Antitrasformata di Laplace
Se $F(s)$ è una trasformata di Laplace con regione di convergenza $\Omega$, allora la sua antitrasformata vale
$f(t) = \lim_{\beta \to +\infty} \frac{1}{2 \pi i} \int_{\alpha - i \beta}^{\alpha + i \beta} F(s) e^{s t} ds$
dove la retta verticale $s = \alpha + i \beta$ nel piano complesso è interna alla regione di convergenza $\Omega$.
Antitrasformata di Laplace di funzioni razionali
Data una trasformata di Laplace razionale della forma $F(s) = \frac{\beta_{n-1} s^{n-1} + \ldots + \beta_1 s + \beta_0}{s^n + \alpha_{n-1} s^{n-1} + \ldots + \alpha_1 s + \alpha_0}$, dove gli $\alpha_i$ e $\beta_i$ sono coefficienti reali, per calcolare la rispettiva antitrasformata si possono seguire i seguenti passi
1) Per prima cosa si fattorizza il denominatore, mediante il calcolo delle sue radici, e si scrive la trasformata in questa forma
$F(s) = \frac{\beta_{n-1} s^{n-1} + \ldots + \beta_1 s + \beta_0}{\prod_{j=1}^{r} (s - p_j)^{q_j} \cdot \prod_{j=r+1}^{c} (s - p_j)^{q_j} (s - \bar{p}_j)^{q_j}}$
dove
- $p_j$, con $j = 1, 2, \ldots, r$ sono le radici reali del denominatore
- $p_j = \sigma_j + i \omega_j$, con $j = r+1, r+2, \ldots, c$ e $\omega_j > 0$ sono radici complesse del denominatore
- $\bar{p}_j$, $j = r+1, r+2, \ldots, c$ sono le radici del denominatore complesse coniugate di $p_j$
- $q_j$, $j = 1, 2, \ldots, c$, sono le molteplicità algebriche delle radici
2) Fatto questo si scompone la $F(s)$ in fratti semplici, in questo modo
$F(s) = \sum_{j=1}^{r} \sum_{h=1}^{q_j} \frac{R_{jh}}{(s - p_j)^h} + \sum_{j=r+1}^c \sum_{h=1}^{q_j} (\frac{R_{jh}}{(s - p_j)^h} + \frac{\bar{R}_{jh}}{(s - \bar{p}_j)^h})$
dove $R_{jh}$ è il residuo dato da
$R_{jh} = \lim_{s \to p_j} \frac{1}{(q_j - h)!} \frac{d^{q_j - h}}{ds^{q_j - h}} ((s - p_j)^{q_j} F(s))$
per ogni $j = 1, 2, \ldots, c$ e per ogni $h = 1, 2, \ldots, q_j$
3) Per ultima cosa si antitrasforma $F(s)$ usando le trasformate e le proprietà notevoli
$f(t) = \{(\sum_{j=1}^{r} \sum_{h=1}^{q_j} R_{jh} \frac{t^{h-1}}{(h-1)!} e^{p_j t} + \sum_{j=r+1}^c \sum_{h=1}^{q_j} (R_{jh} \frac{t^{h-1}}{(h-1)!} e^{p_j t} +
\bar{R}_{jh} \frac{t^{h-1}}{(h-1)!} e^{\bar{p}_j t}), \quad "se " t \ge 0),(0, \quad "se " t < 0):}$
e osservando che $e^{i x} + e^{- i x} = 2 \cos(x)$, $\forall x \in \mathbb{R}$, l'antitrasformata può essere scritta come
$f(t) = \{(\sum_{j=1}^{r} \sum_{h=1}^{q_j}
R_{jh} \frac{t^{h-1}}{(h-1)!} e^{p_j t} + \sum_{j=r+1}^c
\sum_{h=1}^{q_j} 2 M_{jh} \frac{t^{h-1}}{(h-1)!} e^{\sigma_j t} \cos(\omega_j t + \theta_{jh}), \quad "se " t \ge
0),(0, \quad "se " t < 0):}$
dove $\sigma_j$ è la parte reale di $p_j$, $\omega_j$ è la parte immaginaria di $p_j$, $M_{jh}$ è il modulo di $R_{jh}$, $\theta_{jh}$ è la fase di $R_{jh}$.
Esempio: antitrasformare la funzione $F(s) = \frac{1}{(s+1)(s-2)}$. La funzione $F$ è razionale, e si può scomporre in fratti semplici come $F(s) = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s-2}$, dove
$A = \lim_{s \to -1} (s+1) \frac{1}{(s+1)(s-2)} = - \frac{1}{3} \qquad B = \lim_{s \to 2} (s - 2) \frac{1}{(s+1)(s-2)} = \frac{1}{3}$
quindi $F(s) = -\frac{1}{3} \frac{1}{s+1} + \frac{1}{3} \frac{1}{s-2}$, e sfruttando la tavola delle trasformate notevoli e la linearità della trasformata di Laplace si trova
$f(t) = - \frac{1}{3} e^{-t} H(t) + \frac{1}{3} e^{2t} H(t)$
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