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Formulario Trasformata zeta
| Trasformata zeta | di Gianni Sammito |
Definizione
Data una successione $f_k$, $k = 0, 1, 2, \ldots$, si chiama trasformata zeta di $f_k$, e si indica con $Z[f_k](z)$ o $F(z)$, la funzione
$F(z) = \sum_{k=0}^{+\infty} f_k z^{-k}$
definita per $z \in \Omega \subseteq \mathbb{C}$. L'insieme $\Omega$ si chiama regione di convergenza, ed è formato da tutti gli $z \in \mathbb{C}$ tali per cui la serie precedente risulta convergente.
Proprietà
Nel seguito, per comodità, si indicheranno con $F(z)$ e $G(z)$ le trasformate zeta di, rispettivamente, $f_k$ e $g_k$.
Linearità
$Z[a f_k + b g_k](z) = a F(z) + b G(z)$, per ogni $a, b \in \mathbb{R}$
Proprietà del ritardo (scorrimento verso destra)
$Z[f_{k - h}](z) = z^{-h} F(z)$, per ogni $h \in \mathbb{N}$
Proprietà dell'anticipo (scorrimento verso sinistra)
$Z[f_{k+1}](z) = z F(z) - z f_0$
$Z[f_{k+2}](z) = z^2 F(z) - z^2 f_0 - z f_1$
$\vdots$
$Z[f_{k+h}](z) = z^h F(z) - z^h f_0 - z^{h-1} f_1 - \ldots - z f_{h-1}$, per ogni $h \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$
Caso particolare: se $f_0 = f_1 = \ldots = f_{h-1} = 0$, allora $Z[f_{k + h}](z) = z^h F(z)$
Traslazione nel dominio di $z$
$Z[a^k f_k](z) = F(\frac{z}{a})$, $a \ne 0$
Trasformata della somma di convoluzione
$Z[\sum_{j=0}^{k} f_{k-j} g_j] = F(z) G(z)$
Moltiplicazione per $k$
$Z[k \cdot f_k](z) = - z \frac{d}{dz} F(z)$
Teorema del valore finale
Se $\lim_{k \to +\infty} f_k$ e $\lim_{z \to 1} \frac{z-1}{z} F(z)$ esistono finiti, allora
$\lim_{k \to +\infty} f_k = \lim_{z \to 1} \frac{z-1}{z} F(z)$
Trasformate zeta notevoli
Antitrasformata zeta
Data una trasformata zeta razionale $F(z)$, per risalire alla corrispondente successione $f_k$ si possono seguire i seguenti passi
1) Definire $\bar{F}(z) = \frac{1}{z} F(z)$
2) Scomporre $\bar{F}(z)$ in fratti semplici
3) Considerare che $F(z) = z \bar{F}(z)$
4) Antitrasformare $F(z)$ facendo uso delle trasformate notevoli
Esempio: antitrasformare $F(z) = \frac{1}{(z-1)(z+2)}$. Risulta $\bar{F}(z) = \frac{1}{z} F(z) = \frac{1}{z(z-1)(z+2)}$. Scomponendo in fratti semplici si ottiene $\bar{F}(z) = \frac{A}{z} + \frac{B}{z-1} + \frac{C}{z+2}$ dove
$A = \lim_{z \to 0} z \bar{F}(z) = \lim_{z \to 0} z \frac{1}{z(z-1)(z+2)} = \frac{1}{2} \qquad B = \lim_{z \to 1} (z-1) F(z) = \lim_{z \to 1} (z-1) \frac{1}{z(z-1)(z+2)} = \frac{1}{3}$
$C = \lim_{z \to -2} (z+2) \bar{F}(z) = \lim_{z \to -2} (z+2) \frac{1}{z(z-1)(z+2)} = \frac{1}{6}$
Quindi $\bar{F}(z) = -\frac{1}{2} \frac{1}{z} + \frac{1}{3} \frac{1}{z-1} + \frac{1}{6} \frac{1}{z+2}$, di conseguenza $F(z) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \frac{z}{z-1} + \frac{1}{6} \frac{z}{z+2}$, e antitrasformando, sfruttando le trasformate notevoli, si ottiene
$f_k = -\frac{1}{2} \delta_k^0 + (\frac{1}{3} + \frac{1}{6} (-2)^k) u_k$
Scritto da , il 04-11-2011 13:20 non è assolutamente una critica...magari specificate che la vostra definizione è di trasformata monolatera;per maggiore conformità ,ad esempio, con la definizione di impulso a gradino unitario che avete introdotto... Scrivi Commento
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